Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin, Paolo AlessandriniProf. Paolo Alessandrini, Lei è autore del libro Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin edito da Hoepli: quale rapporto esiste tra due discipline così apparentemente lontane come matematica e musica?
La distanza percepita tra questi due spazi della conoscenza e dell’espressione umana è un prodotto moderno, derivante dalla separazione artificiosa tra l’ambito cosiddetto umanistico-artistico e quello scientifico-quantitativo. In realtà, e lo sanno bene sia i musicisti che i matematici, vi sono innumerevoli affinità tra le due discipline. Se ne era accorto già Pitagora due millenni e mezzo fa che la musica si basa sulla matematica, e dopo di lui molti altri matematici hanno studiato questo legame. Dalla fisica delle onde sonore alla trasformata di Fourier applicata per studiare le armoniche di un suono, dalle scale musicali all’armonia, dal ritmo alle simmetrie nei canoni e nelle fughe, la musica è davvero piena di concetti matematici, al punto che il matematico e filosofo Leibniz definì la musica come “un esercizio aritmetico occulto, nel quale la mente non si rende conto di calcolare”.

Alcuni di questi tradizionali punti di contatto tra matematica e musica sono trattati nel mio libro, ma non rappresentano l’argomento principale del mio lavoro. Anche perché i libri e gli articoli che affrontano questo collegamento generale sono già molti: e io volevo scrivere un libro nuovo, originale.

Nel Suo libro Lei si concentra in particolare sul mondo della musica rock: come mai questa scelta?
L’idea è stata fin dal primo momento concentrarmi su un genere specifico, quello della musica rock. Apparentemente la scelta sembrerebbe bizzarra e quasi “stonata”. Da una parte il rock è sinonimo di rivoluzione, di trasgressione, libertà assoluta, fantasia, e dall’altra la matematica viene percepita da molte persone come l’esatto contrario: regole inflessibili, calcoli complicati, totale assenza di creatività.

Il fatto è che la vera matematica non è questa. Purtroppo a scuola viene spesso insegnata così, come un insieme di procedure da applicare meccanicamente per risolvere esercizi ripetitivi: “regole” (parola che io detesto, come sanno bene i miei studenti), cadute dal cielo non si sa come, che vanno accettate come verità rivelate e utilizzate senza spirito critico. I veri matematici sanno che questo è l’esatto contrario della matematica. I veri matematici sono dei creativi, perché ogni giorno inventano mondi nuovi, scardinano l’esistente, cercano l’ordine nel caos apparente, scoprono strutture e collegamenti sorprendenti. La matematica (quella vera) non è una prigione, ma uno spazio di libertà in cui la fantasia è uno strumento essenziale. Nella storia della matematica ci sono stati numerosi “rivoluzionari”, che hanno avuto il coraggio di trasgredire, di individuare direzioni completamente nuove che si sono poi rivelate utili e feconde. Matematici come rockstar, insomma.

Se la matematica è rock, anche il rock è, a suo modo, matematico. Questa è stata l’idea che mi ha spinto a scrivere il libro. Ho notato che molte vicende ambientate nel mondo delle band e degli artisti della scena rock tiravano in ballo, ciascuna a modo suo, la matematica. Alcune di queste avevano a che fare con canzoni molto famose, oppure con celebri band, con copertine ben note agli appassionati. In altri casi erano legate a gruppi meno conosciuti. Ma tutte queste vicende erano interessanti e curiose di per sè. Il legame con la matematica era, in molti casi, inaspettato. Mi sembrava insomma un materiale perfetto per un libro del tutto nuovo e insolito.

Così l’idea di fondo mi è apparsa subito chiara: scrivere una raccolta di storie di questo tipo che permettessero di raccontare la matematica in molto alternativo. A tempo di rock’n’roll, per così dire.

Ecco che ogni capitolo del libro si apre con una storia rock che, a un certo punto, si fa misteriosa, si trasforma in un enigma, insomma pone al lettore un problema. E per risolvere il problema, ovvero per dare un finale a quella storia, occorre chiamare in causa la matematica. Insomma, il mio non è certo un testo di matematica tradizionale, ma un libro di storie: storie che hanno entusiasmato moltissime persone che fino a quel momento avevano giurato di detestare la matematica.

Rock Around the Clock, nel 1954, segna il successo del genere: in che modo è possibile cogliervi una precisa struttura aritmetica?
“Rock Around the Clock” è, forse più di ogni altra, la canzone che segnò simbolicamente l’avvio della stagione esplosiva del rock’n’roll come fenomeno planetario. Non fu certo il primo brano classificabile in questo genere musicale, ma raggiunse una tale notorietà che permise alla rivoluzione di prendere il volo. Pubblicata nel 1954 da Bill Haley and His Comets, divenne un enorme successo mondiale l’anno successivo, grazie al film “Blackboard Jungle” (in Italia “Il seme della violenza”) che la incluse nella propria colonna sonora.

Nel primo capitolo del libro faccio notare come questo fulminante inizio della storia del rock abbia, curiosamente, qualcosa in comune con il concetto elementare con cui, solitamente, si fa iniziare la trattazione della matematica, ovvero i numeri naturali. Se si ascolta il testo di “Rock Around the Clock”, ci si accorge infatti che è pieno di numeri, a partire dai primi versi:

One, two, three o’clock, four o’clock, rock
Five, six, seven o’clock, eight o’clock, rock
Nine, ten, eleven o’clock, twelve o’clock, rock
We’re gonna rock around the clock tonight.

Questa partenza congiunta di rock e matematica all’insegna dei numeri naturali mi sembra molto significativa. I numeri citati nel testo sono gli interi dall’1 al 12, dopo di che gli stessi numeri vengono ripetuti una seconda volta. L’espressione “around the clock”, che Bill Haley canta più volte, significa “24 ore su 24”, cioè “in modo continuativo”: l’idea sottesa è che questo movimento di ribellione deve durare non per dodici ore soltanto, ma deve essere qualcosa di permanente, una rivoluzione stabile e definitiva. La struttura aritmetica proposta da “Rock Around the Clock” è quindi formata dalla successione dei numeri naturali ripetuta infinite volte: una perfetta rappresentazione dell’aritmetica modulare, o aritmetica dell’orologio, un importante e utile sistema alternativo di numerazione introdotto dal grande matematico tedesco Carl Friedrich Gauss nel 1801. Nell’aritmetica modulare la sequenza dei numeri si “avvolge” su se stessa quando raggiunge un determinato numero detto modulo: se il modulo è, per esempio, 12, si ottiene proprio la successione cantata da Bill Haley.

Perché si può considerare We Will Rock You dei Queen come uno degli esempi più eclatanti di matematica applicata al rock?
Il protagonista di questa storia è Brian May, il quale, oltre a essere il chitarrista dei Queen, può vantare una laurea in fisica e un dottorato in astrofisica, entrambi conseguiti all’Imperial College di Londra. Nel 1977 May scrisse “We Will Rock You”, uno dei maggiori cavalli di battaglia della band britannica. L’elemento distintivo di questo brano è la sua coinvolgente base ritmica: quel “tum tum cià” che tutti riconosciamo fin dal primo istante. Quando i Queen la registrarono, in una chiesa sconsacrata alla periferia di Londra, May pensò che sarebbe stato bello che i battiti di piedi e di mani potessero sembrare come eseguiti non da loro quattro soltanto, ma da una moltitudine di persone, come le migliaia di spettatori di un concerto rock in uno stadio.

La soluzione ovvia fu ricorrere a un effetto di riverbero: ovvero creare, per ognuno dei battiti, un certo numero di echi, posti a distanze temporali diverse (comunque molto brevi, dell’ordine di pochi millisecondi) dal battito originale. Dato che May se ne intendeva di fisica, pensò subito a un possibile effetto collaterale che nei riverberi va assolutamente evitato: lo sbilanciamento delle frequenze nell’effetto complessivo. Detto altrimenti, occorreva fare in modo che nel “tum tum cià” finale non spiccassero sopra le altre note caratterizzate da altezze particolari. Tutte le frequenze dovevano risultare perfettamente bilanciate, altrimenti l’effetto sarebbe stato sgradevole e poco realistico. Ma May, che oltre alla fisica conosceva molto bene anche la matematica, seppe come risolvere il problema: scelse quelle distanze temporali tra battito originale ed echi in modo che, misurate in millisecondi, corrispondessero a numeri primi fra loro. Nel libro io mostro cosa s’intende per numeri primi fra loro e spiego perché questa singolare dimensionamento dei ritardi abbia garantito l’ottimale riuscita del riverbero. Insomma, se la base ritmica di “We Will Rock You” suona alle nostre orecchie così perfetta e irresistibilmente trascinante, lo dobbiamo anche alla matematica!

In che modo l’incertezza trova applicazione nel rock?
Nel mondo reale sono molti i fenomeni caratterizzati dall’incertezza. Alcuni di questi sono totalmente imprevedibili, nel senso che non riusciamo a quantificare con precisione quanto siano probabile i diversi possibili esiti. In una partita di calcio, per esempio, non possiamo affermare in modo rigoroso quanto sia probabile la vittoria della squadra di casa. Per altri fenomeni, invece, la teoria della probabilità ci offre strumenti che rendono possibile questo calcolo. Nel mio libro ho preso in considerazione uno studio molto recente condotto da tre ricercatori americani, Mark Glickman e Ryan Song dell’Università di Harvard e Jason Brown della Dalhousie University in Canada, per valutare la probabilità che la musica di alcune canzoni dei Beatles sia stata scritta da John Lennon o da Paul McCartney.

I fans sanno che, nonostante tutti i brani scritti dall’uno o dall’altro songwriter nell’epoca Beatles portino la firma congiunta “Lennon-McCartney”, poche sono le canzoni frutto di una collaborazione realmente paritaria: quasi sempre prevale il contributo di uno dei due autori. I tre accademici hanno utilizzato uno dei risultati fondamentali della teoria della probabilità, scoperto dal matematico inglese del Settecento Thomas Bayes, per addestrare un algoritmo di intelligenza artificiale (o, più nello specifico, di machine learning, o “addestramento automatico”) che ha potuto fornire il suo responso per alcune canzoni dall’autore controverso, come per esempio la bellissima “In My Life”, inclusa nell’album “Rubber Soul” del 1965. Per fare questo, all’algoritmo sono state somministrate informazioni sulle caratteristiche melodiche e armoniche di 70 pezzi beatlesiani dall’autore certo. Il risultato, naturalmente, non è stato una sentenza lapidaria, ma probabilistica: per esempio “In My Life” è risultata scritta da Lennon con una probabilità del 98,2% (quasi una certezza). In una seconda versione della ricerca i tre matematici hanno modificato il loro approccio metodologico e ottenuto risultati diversi, comunque confrontabili con quelli della prima versione.

Che nesso esiste tra la topologia e i Led Zeppelin?
Nel 1971 la grande band inglese pubblicò il suo quarto album, nel quale compariva una delle canzoni più celebri della storia del rock, “Stairway to Heaven”. Come i precedenti, anche questo album era privo di un titolo ufficiale. Per firmarlo in in modo insolito, i quattro musicisti decisero di riportare sulla copertina altrettanti simboli: l’enigmatica scritta “ZoSo” del chitarrista Jimmy Page, la piuma del cantante Robert Plant, la triquetra del bassista John Paul Jones e i tre cerchi sovrapposti del batterista John “Bonzo” Bonham. Gli ultimi due simboli racchiudono alcune interessantissime proprietà matematiche. Oltre a rappresentare figure geometriche, in quanto segni tracciati su un foglio, i due simboli possono esser considerati anche come intrecci di fili, cioè nodi.

La teoria dei nodi è un importante settore di indagine con numerose applicazioni pratiche alla fisica, alla chimica e alla biologia. Fa parte di una importante branca della matematica che si chiama topologia.

In topologia un nodo è un filo infinitamente sottile che viene aggrovigliato su stesso, unendo poi tra di loro le due estremità: grazie a quest’ultimo accorgimento, tutti i nodi “topologici” hanno la caratteristica di non poter essere sciolti, se non tagliando brutalmente il filo.

Ora, i tre cerchi di Bonzo diventano gli anelli borromei (propriamente un insieme di tre nodi separati e intrecciati tra di loro, o come dicono i topologi un “link”), mentre la triquetra di Jones diventa il nodo a trifoglio: uno dei nodi più semplici possibili, che spesso ingarbuglia il cavetto dei nostri auricolari dopo che li abbiamo lasciati in tasca per un po’ di tempo.

È possibile descrivere matematicamente uno dei singoli di maggior successo dell’intera storia del rock, il capolavoro dei Queen Bohemian Rhapsody?
Non tanto il brano in sè, quanto il suo video promozionale. “Bohemian Rhapsody” è un pezzo molto complesso, soprattutto nella sua parte centrale e dal punto di vista armonico, per cui i Queen si accorsero che non era possibile eseguirlo interamente dal vivo e nemmeno mimarlo in playback. Per la promozione decisero di ricorrere allora a un video, che venne realizzato in breve tempo e che includeva al suo interno effetti speciali molto avanzati per l’epoca. Uno di questi era un feedback video, ottenuto collegando la telecamera a un monitor e puntando quest’ultimo con la telecamera. Il risultato è simile a quello che si osserva quando ci si trova tra due specchi: corridoi infiniti, voragini vertiginose, ripetizioni paradossali.

Un feedback video, così come il suo equivalente audio (che tutti abbiamo udito prima o poi quando si avvicina troppo un microfono a una cassa) sono esempi di loop chiusi, e rimandano a i concetti matematici dell’autoreferenza, dell’autosimilarità e della ricorsione. Tutte nozioni che nel libro vengono analizzate con dovizia di particolari e con esempi molto rock.

In che modo la trasformata di Fourier può servire per studiare la musica dei Beatles?
Il 16 aprile 1964 i Beatles registrarono il brano “A Hard Day’s Night”. Dato che la canzone era destinata a diventare la prima traccia del nuovo album e il pezzo d’apertura del primo film del gruppo di Liverpool, il produttore George Martin e il regista Richard Lester proposero ai ragazzi un obiettivo: trovare un suono spettacolare che potesse aprire il brano con un potente effetto di sorpresa. Il suono giusto, un accordo, venne subito trovato: insolito, lievemente dissonante e molto piacevole. I Beatles probabilmente non immaginavano che da quel giorno gli appassionati avrebbero cercato in ogni modo di risolvere l’enigma legato a quell’accordo: come fecero i Beatles quel giorno a ottenere quell’armonia così accattivante? Quali note esatte uscirono dalla chitarra acustica di Lennon, dalla 12 corde di Harrison, dal basso di McCartney e dal pianoforte di Martin?

È curioso notare come questo mistero, uno dei più famosi della storia del rock’n’roll, abbia trovato nel 2014 una risposta probabilmente definitiva grazie alla matematica: il professor Kevin Houston, dell’università di Leeds, ha utilizzato un approccio basato sulla trasformata di Fourier per analizzare il frammento sonoro contenente il problematico accordo e distillare le note costitutive. Nel libro racconto in dettaglio questa storia molto curiosa e avvincente, in cui la matematica ha un ruolo determinante.

Nell’era dell’intelligenza artificiale, ritiene che la musica del futuro sarà creata dai computer?
Forse sarà creata per mezzo dei computer, ma difficilmente dai computer. Mi spiego meglio: anche nell’epoca dell’intelligenza artificiale, in cui le macchine hanno un ruolo fondamentale perché ci permettono di eseguire calcoli molto complicati in tempi brevissimi, la regia e il controllo centrale è in mano a uomini e donne in carne e ossa. La musica elettronica è ormai da molti decenni un fenomeno consolidato, sia nell’ambito colto che “popolare”. All’interno di questa galassia hanno assunto una particolare rilevanza movimenti come la computer music, portata avanti da compositori come Iannis Xenakis, l’ambient music, concepita da musicisti come Brian Eno, e molti altri, fino ad arrivare a progetti in cui la composizione musicale è effettivamente affidata ad algoritmi di intelligenza artificiale, per esempio basandosi sullo stile di autori classici. Ma anche in questi casi, non si tratta di computer che compongono in modo autonomo: gli algoritmi sono comunque progettati dall’uomo, e la macchina è soltanto un tramite, un po’ come lo strumento lo è nella fase esecutiva. In altri termini: anche in futuro, almeno per un po’ di tempo, per scrivere una bella musica saranno insostituibili la mente e il cuore di un essere umano.

Paolo Alessandrini è docente di matematica, divulgatore e autore. Laureato in Ingegneria Informatica presso l’Università di Padova, ha lavorato presso importanti aziende. Ha pubblicato con 40K La matematica dei Pink Floyd (2014) e La matematica nel pallone (2015). Nel 2019 ha pubblicato con Hoepli Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin, presentato anche al Festival della Scienza di Genova. Autore del blog Mr. Palomar, collabora con la rivista Archimede e a molti progetti di didattica e divulgazione della matematica.