La forma delle cose. L'alfabeto della geometria, Marco AndreattaProf. Marco Andreatta, Lei è autore del libro La forma delle cose. L’alfabeto della geometria edito dal Mulino: quanta geometria c’è nella nostra vita quotidiana?
Se intendiamo in generale la geometria come una disciplina che aiuta ad orientarci nello spazio e a comprendere la forma degli oggetti che usiamo, allora quasi tutto ciò che facciamo ha a che fare con essa. Se da casa voglio andare in centro città penso qual è la strada migliore: più corta o meglio ancora più breve in termini di traffico. Durante il tragitto dovrò adeguare di continuo la mia strategia geometrica, per esempio ad ogni attraversamento di piazza trafficata o di forma particolare.
Anche la scelta di un utensile per casa viene fatta in buona parte considerandone la forma, che deve essere sia funzionale sia bella.

Nella vita di tutti i giorni, più o meno coscientemente, utilizziamo teorie geometriche profonde e estremamente sofisticate. Il navigatore del nostro telefono si poggia sulla rappresentazione del globo terrestre data dalla carta geografica di Mercatore; la rete del traffico o le grandi reti dei Big Data sono oggi comprese e governate attraverso teoremi di topologia, uno dei campi più astratti della geometria moderna; la costruzione di grandi edifici, o anche di piccoli mobili, poggia su decine di teoremi di geometria che analizzano la misura degli oggetti, la loro posizione reciproca, la loro interazione, da quello di Pitagora a quelli più recenti di Riemann e di Levi Civita.

Simmetria, essenzialità, armonia, tutti canoni che prendiamo in considerazione per agire meglio nella nostra vita, che di fatto hanno a che fare con la geometria delle cose. Come li utilizziamo dipende dalla esperienza e dalla conoscenza che abbiamo dello spazio e delle sue forme, in altre parole dalla nostra cultura geometrica.

Si può affermare che la geometria nasca come problema filosofico?
Nel libro inizio parlando di Talete e Platone, i fondatori del pensiero filosofico occidentale che ponevano la geometria al centro del loro meditare; si racconta che Platone considerasse indispensabile una formazione geometrica per poter accedere all’ Accademia. La geometria è sempre stato un problema filosofico, un modo speciale per amare il sapere.

Galileo e Cartesio attribuiscono alla geometria la capacità di comprendere tanta parte dei fenomeni del mondo e osservano come essa ci permetta di formulare e risolvere tanti problemi e produrre conoscenza.

Uno dei tanti percorsi di maturazione filosofica che richiamo nel libro è quello che riguarda la concezione di spazio, che a partire dall’idea fantasiosa di Leibniz di spazio come un ordine di situazioni, si sviluppa in Riemann con il concetto di grandezza multiplamente estesa passabile di diverse relazioni metriche (varietà riemanniana) e arriva alla Teoria della Relatività Generale di Einstein, una teoria geometrica dell’universo.

In che modo la mente umana esplora la forma delle cose?
Una figura di notevole rilievo per lo sviluppo della geometria contemporanea è quella di Federigo Enriques, matematico e filosofo italiano dell’inizio del ‘900. Il lavoro di ricerca in Geometria Algebrica, che mi ha impegnato per quasi quarant’anni, e anche la scrittura di questo libro sono stati fortemente influenzati dal suo pensiero. La questione della educazione scientifica e quella della formazione dei concetti matematici, in particolare delle idee geometriche, all’interno della mente umana sono temi ricorrenti nei suoi libri di carattere filosofico e cognitivo. Nella voce Superfici della Enciclipedia Nazionale Treccani egli scrive: … in ultima analisi, quando tentiamo di derivare dall’esperienza fisica i postulati della linea (o di altre idee geometriche), dobbiamo tener conto, non tanto dei dati di fatto dell’esperienza stessa, quanto delle esigenze semplificatrici della nostra mente, che in essi si rispecchiano.  Si osserva che l’approccio umano verso la comprensione dello spazio è volto a semplificare le innumerevoli diversità e complessità offerte dal mondo naturale. A introdurre idee e concetti “semplici” (ma non necessariamente elementari), che permettono una visione unitaria di tanti fenomeni e la possibilità di classificare in un numero finito di casi la infinita molteplicità delle forme della natura. Credo che l’uomo sia l’unico animale che guardando la luna piena, o una ruota, o le onde formate in uno stagno da un sasso gettato, costruisca nella mente l’idea di cerchio. L’osservazione può applicarsi anche alla questione di come elaboriamo il gusto estetico, di come arriviamo alla decisione che qualcosa sia bello. Spesso, se non sempre, una cosa piace se è semplice e immediata e se permette inoltre di evocare forme e strutture complesse. Non sorprende dunque se tanti studiosi della geometria attribuiscono alle scoperte una particolare bellezza; e proseguono nelle ricerche con il solo scopo dichiarato di renderle ancora più belle.

Quali importanti applicazioni tecnologiche trovano i teoremi della geometria?
La matematica, e in particolare la geometria, è oggi alla base di quasi ogni applicazione tecnologico-scientifica. La sua pervasività porta ad estendere l’aforisma di un famoso fisico: l’irragionevole efficacia della matematica nelle scienze naturali e ora nelle applicazioni.

Mi ha molto stupito, ad esempio, scoprire che nel campo dello studio dei Grandi Dati (Big Data), un settore cruciale per lo sviluppo tecnologico odierno, il problema dell’acquisizione completa di dati sparsi nello spazio viene affrontato lungo un percorso definito da una curva di Peano. Questa curva, un oggetto monodimensionale, introdotta dal matematico torinese alla fine dell’800, ha la caratteristica di riempire densamente lo spazio che percorre e quindi di avvicinarsi arbitrariamente ad ogni dato presente. La geometria proiettiva, inventata dai pittori italiani del rinascimento, ed ora settore di ricerca centrale in geometria, è divenuto uno degli strumenti principali di indagine nel campo del riconoscimento delle immagini. Le applicazioni della geometria all’esplorazione dello spazio sono innumerevoli, dalla cartografia di Mercatore, sopra menzionata, alle geometrie non euclidee per le misure dell’universo; dal calcolo dell’orbita attorno alla terra per l’astronave di John Glenn, come ricordato nel recente film Diritto di Contare, ai complessi calcoli ora in atto per raggiungere Marte.

Io credo che nell’immediato futuro le applicazioni più importanti dei teoremi di geometria saranno nel campo della scienza della vita, delle biotecnologie. La ricerca e le applicazioni in questo settore si basano sempre più su strutture geometriche e sulla possibilità di modificarle biologicamente: si pensi alla struttura ad elica del DNA e alle rivoluzionarie tecniche messe in atto ai giorni nostri, denominate CRISPR, per manipolarlo.

Quale evoluzione ha subito la geometria moderna?
La geometria moderna è un settore di ricerca in grande espansione, sia dal punto di vista della quantità dei risultati che della qualità scientifica. Da un lato si creano nuove teorie geometriche, generali e versatili per le applicazioni, e dall’altro si provano teoremi che fino a poco tempo fa sembravano irraggiungibili.

Un esempio significativo, che descrivo nel libro, è dato dalla Congettura di Poincaré, una questione posta dal matematico francese all’inizio del ‘900 e diventata centrale anche per la riuscita di un programma di classificazione di oggetti geometrici di dimensione tre lanciato dal matematico W. Thurston nel 1983, denominato Thurston Elliptization Conjecture. Siamo all’interno della topologia, un settore della geometria contemporanea; viene chiesto di caratterizzare la sfera tridimensionale attraverso le curve su di essa che possono essere contratte, senza essere recise, ad un punto. Un geniale matematico russo, Grigory Perelman, ha recentemente provato che la congettura è vera, percorrendo una difficile strada indicata dal matematico americano R.Hamilton. Perelman è una figura interessante anche dal punto di vista umano, le sue scelte personali di libertà e indipendenza sono un grande esempio per il mondo degli scienziati. Per i suoi teoremi è stato insignito della Fields Medal, l’equivalente del premio Nobel per la matematica, e di un premio di un milione di dollari dalla Clay Foundation; il matematico russo ha rinunciato ad entrambi, spiegando che è totalmente irrilevante per lui e che chiunque può capire che se la prova è corretta nessun altro riconoscimento è necessario.

L’800 è stato il secolo in cui gli scienziati sono usciti dagli stretti confini della geometria euclidea; nel secolo successivo sono stati creati numerosi programmi per costruire nuove geometrie (non euclidee), per provare a catalogarle e per trovarne le applicazioni più utili. Negli ultimi trent’anni alcuni di questi programmi hanno ottenuto successi clamorosi, tra questi la classificazione degli oggetti geometrici negli spazi proiettivi, spazi a più dimensioni che inglobano anche i punti all’infinito, che i pittori italiani del rinascimento chiamavano punti di fuga. In questo programma la scuola italiana ha sviluppato livelli di estrema eccellenza: due italiani sono tra i firmatari del lavoro conclusivo che prova la fattibilità del programma e della classificazione, uno di essi ha ricevuto per questo lo scorso anno il premio Breakthrough Prize, definito l’Oscar per la ricerca scientifica e finanziato dalla fondazione di Zuckerberg.

In che modo la geometria fornisce alla fisica gli strumenti per capire l’universo?
Galileo, in linea con il pensiero di Platone, scrive che l’universo non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri sono triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola. Egli inoltre osserva che molte proprietà della natura, pur degne di essere conosciute, non sono mai state finora osservate, nonché dimostrate. …ad esempio, che il moto naturale dei gravi discendenti accelera continuamente; però, secondo quale proporzione tale accelerazione avvenga, non è stato sin qui mostrato: nessuno, che io sappia, infatti, ha dimostrato che un mobile discendente a partire dalla quiete percorre, in tempi eguali, spazi che ritengono tra di loro la medesima proporzione che hanno i numeri impari successivi ab unitate. E, poiché la somma dei primi 2n-1 numeri dispari è uguale a n2, con questo determina che lo spazio percorso da un grave in caduta libera va come il quadrato del tempo trascorso dalla quiete.

Da allora le teorie sviluppate dalla fisica si poggiano su solide basi matematiche, in particolare geometriche. Abbiamo già detto come la Teoria della Relatività Generale sia una teoria geometrica dell’universo; a dirigere questa teoria Einstein ha posto una equazione differenziale, l’equazione di campo, le cui soluzione sono le onde gravitazionali. Queste sono state introdotte prima da Poincaré e poi da Einstein, che forse le consideravano semplicemente oggetti geometrici astratti più che veri fenomeni fisici osservabili sperimentalmente. Come ben sappiamo cent’anni dopo la nascita delle teorie di Einstein una equipe internazionale di fisici ha annunciato al mondo l’osservazione (avvenuta nel 2015) di un’onda gravitazionale corrispondente ad una soluzione numerica dell’Equazione di Einstein per la fusione di due buchi neri distanti dalla Terra circa 1 miliardo e 300 milioni di anni luce. Queste osservazioni sono state ripetute almeno altre tre volte con fenomeni massivi di diversa natura.

Senza la lingua della geometria (riemanniana) non avremmo mai inteso queste vibrazioni dell’universo.

In una nota a margine dei suoi lavori Perelman osserva che vi è “una relazione tra la fisica statistica e la geometria pseudo-riemanniana, come si vede nel campo della Termodinamica dei Buchi Neri, sviluppata da Hawking e altri”. I risultati di Perelman assieme ai successi nella classificazione delle varietà algebriche saranno probabilmente la nuova lingua utilizzata dalla fisica teorica nella ricerca della forma dell’universo e nella descrizione delle sue “singolarità”, i buchi neri.