“L’infinito. Filosofia, matematica, fisica” di Claudio Ternullo e Vincenzo Fano

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Prof. Claudio Ternullo, Lei è autore con Vincenzo Fano del libro L’infinito. Filosofia, matematica, fisica edito da Carocci: quali sono le questioni più dibattute, nell’ambito della ricerca contemporanea, sul tema dell’infinito?
L’infinito. Filosofia, matematica, fisica, Claudio Ternullo, Vincenzo FanoDi infinito, in ambito filosofico e scientifico, si discute da sempre, quindi ho qualche difficoltà a indicare le questioni più dibattute nella ricerca contemporanea.

Si possono, però, senz’altro indicare novità emerse di recente, per esempio, in fisica. Secondo l’interpretazione a più mondi della realtà proposta dal cosmologo statunitense Max Tegmark, l’universo sarebbe, in realtà, un insieme di universi, cioè un multiverso, anzi, addirittura un insieme di multiversi, tutti accomunati da una presenza pervasiva dell’infinito “attuale”: c’è un multiverso costituito da infiniti mondi (come già congetturato, secondo alcuni, da Anassimandro e sicuramente da Bruno), un altro da infiniti mondi “paralleli” (quelli della meccanica quantistica) e un altro ancora da infinite strutture matematiche.

Di recente, poi, Roger Penrose, con la sua conformal cyclic cosmology ha riportato in auge la teoria dei “cicli infiniti” già formulata nell’antichità dagli Stoici. Secondo questa teoria, il big bang non è l’inizio dell’universo, bensì di uno fra infiniti cicli dell’universo, il quale, a sua volta, darà origine a un altro ciclo, e così via. Si noti che nel modello di Penrose ogni ciclo, benché delimitato temporalmente, è già un’eternità: nel suo modello, quindi, sorprendentemente, convivono l’idea dell’infinità temporale di un universo singolo (per esempio, del nostro) con l’idea di un eterno e ciclico scomparire e risorgere dell’universo.

D’altro canto, uno dei maggiori sostenitori della gravità quantistica a loop (una delle varie teorie che fondono relatività generale e meccanica quantistica), e cioè Carlo Rovelli, ha sottolineato come, sulla scorta di questa teoria, lo spazio non sia infinitamente divisibile e che, di conseguenza, la natura rigetti, in qualche modo, l’infinito. Altre “teorie del tutto”, come la superstringhe, invece, sono compatibili con un modello “classico” di continuo spaziale. Come si vede, la discussione è aperta: il dato interessante che emerge, però, è che problemi che hanno tormentato prima la filosofia, e poi la fisica, nel corso dei secoli, e che sembravano intrattabili, possono essere affrontati in maniera innovativa e rigorosa usando gli strumenti formali e concettuali di cui disponiamo ora.

Esistono infiniti di grandezza diversa e quantità infinitesime?
Sì, abbiamo delle teorie che ci dicono che esistono infiniti di grandezza diversa e quantità infinitesime: rispettivamente la teoria degli insiemi e l’analisi non-standard. La teoria degli insiemi è una teoria fondazionale, nel senso che con essa si può “fare” tutta quanta la matematica (per semplificare: tutta la matematica si può ritradurre nella teoria degli insiemi). Il carattere assolutamente unico della teoria degli insiemi non è, in generale, messo in dubbio, ma vi sono orientamenti filosofici che tendono ad attribuirle un’importanza relativa e, in ogni caso, a depotenziare il concetto di “esistenza”: secondo questi orientamenti, per esempio, gli insiemi (e i numeri) infiniti sono delle finzioni, magari utili, ma non altrettanto solide quanto gli insiemi (e i numeri) finiti. I finitisti, fra i quali, storicamente, si annoverano filosofi e logici del calibro di Aristotele, Hilbert e Brouwer, ritengono che di infinito si possa parlare solo come di un’entità potenziale (cioè come di qualcosa mai compiuto), oppure in maniera ideale e “controllata” (e sempre a condizione che esso non dia luogo a contraddizioni).

Per tutti questi autori, quindi, l’infinito gioca, in un certo senso, un ruolo analogo a quello degli ideali regolativi kantiani. Per Kant, infatti, quello di infinito è un concetto aporetico e vago, in quanto privo di ancoraggio all’esperienza sensibile, che ha, però, un uso regolativo in quanto ci aiuta a definire il limite di ciò che è conoscibile.

L’orientamento realista, invece, che è decisamente più diffuso fra i matematici, tende a riconoscere all’infinito (nella forma insiemistica, quantomeno) una realtà indiscutibile quanto quella di altre entità matematiche. Cantor, il padre della teoria degli insiemi, addirittura prospettava ramificazioni teologiche e fisiche di vario genere per questo tipo di infinito che, a suo avviso, era implicato nella trama della realtà più di quanto non lasci pensare la fisica moderna. Per quanto concerne gli infinitesimi, si può fare lo stesso discorso.

Ci sono, poi, posizioni miste: c’è chi crede negli infiniti e non negli infinitesimi, chi in entrambi, chi pensa che esista, al massimo, un tipo di infinito, c’è chi sostiene solo la verità degli assiomi “classici” della teoria degli insiemi, altri (fautori dei “grandi cardinali”) ammettono l’esistenza di una dimensione trascendente rispetto ad essi; ancora, c’è chi crede in una molteplicità di ordini di infinitesimalità (di piccolezza degli infinitesimi), e chi ritiene che, invece, questo non sia possibile. L’analisi matematica dell’infinito sembra davvero inesauribile.

Queste discussioni sembrano molto lontane dalle questioni scientifiche fondamentali, ma, come già mostrano i paradossi di Zenone del V sec. a.C., rappresentare matematicamente (e logicamente) il movimento ci espone a delle difficoltà concettuali enormi. Zenone non riusciva a capacitarsi di come si potessero “attraversare” infinite parti dello spazio: per arrivare a delle soluzioni convincenti di questo problema, come mostra un libro fondamentale di Adolf Grünbaum, ci sono voluti più di 20 secoli! Non c’è, quindi, nulla di meno distante dalle grandi domande della scienza di questioni che hanno a che fare con l’infinito.

Lo spazio, il tempo e la materia sono infiniti?
Esistono due teorie fondamentali nella fisica contemporanea, la relatività generale e la meccanica quantistica. Esse hanno, fra le altre cose, conseguenze importanti sulla nostra concezione di spazio, tempo e materia. Recentemente, poi, come ho già ricordato, sono state formulate delle teorie unificate, che ambiscono a darci delle risposte ancora più precise.

Le equazioni della relatività generale sono compatibili con diverse geometrie dello spazio-tempo su scala cosmica. Esistono tre possibilità: che l’univero abbia una geometria chiusa (sferica), piatta (come quella euclidea) o aperta (iperbolica), e questo dipende dal valore del rapporto fra densità media e critica (che si chiama Ω) della materia contenuta nell’universo. Il valore di Ω, per quello che ne sappiamo, è incompatibile con una geometria sferica, e implicherebbe invece una geometria aperta quasi-piatta ed uno spazio, quindi, infinito. Questo non significa, però, che l’universo fisico (ovvero la materia di cui è composto) sia indefinitamente estesa; solo che il suo “contenitore”, per così dire, lo sia.

Per quanto riguarda il tempo, sappiamo che il big bang si deve ritenere anche l’inizio del tempo, ma molti modelli cosmologici, in realtà, portano a sostenere che il big bang non sia realmente l’“inizio” dell’universo, quanto piuttosto l’inizio di un ciclo, fra infiniti, di contrazione ed espansione dell’universo, in altri termini, che il big bang non sia altro che un big bounce dell’universo (di un universo) precedentemente contrattosi (e raffreddatosi), come nella teoria di Penrose. Infine, la materia: alcune teorie della gravità quantistica, già richiamate, pongono esplicitamente un limite alla divisibilità dello spazio fisico, implicano, cioè, che esistano “atomi”, “quanti”, anche di spazio.

Ricapitolando: sulla base di un mix di teorie matematiche sofisticate e di dati osservativi, sembra di poter dire, provvisoriamente, che lo spazio fisico sia infinito, ma discreto, mentre rimane da capire se l’universo abbia avuto un inizio o sia soltanto uno fra infiniti universi di un multiverso più ampio.

Perché l’infinito è indispensabile per la comprensione della realtà?
Abbiamo già visto che la questione dell’infinito si innesta su teorie più ampie che cercano di comprendere la natura della realtà.

Ma la fisica è solo una parte della storia. Senza la matematica, essa difficilmente può fare progressi, e la matematica è, in buona parte, esplorazione dell’infinito. Lo studio della porzione di essa più specificamente “infinitaria” (la teoria degli insiemi) ci fornisce, fra le altre cose, le chiavi giuste per capire problemi matematici profondi e complessi. Inoltre, la teoria degli insiemi è parte di una disciplina più ampia, ovverosia, la logica matematica. Quindi, si può affermare che con la logica matematica sia possibile capire la realtà più di quanto si immagini: questa non è una novità, se si pensa a quanto l’informatica debba al lavoro teorico di Turing. Molti matematici, però, non hanno simpatie per la logica matematica, e neanche per la teoria degli insiemi, che usano per ragioni di praticità. Questo non si concretizza necessariamente in un atteggiamento filosofico finitista, più spesso solo in uno scarso interesse per questioni fondazionali. La cosa, però, ha senso fino a un certo punto: anche un matematico che si occupa di altro non può permettersi un atteggiamento di disinteresse totale verso un punto di vista metamatematico e fondazionale. Per esempio, si sa che, per la dimostrazione recente del teorema di Wiles (la conferma della congettura di Fermat secondo cui non esistono numeri naturali x, y, z, n tali che x n + y n = z n per n > 2), è necessario assumere un assioma di grandi cardinali, un assioma, cioè, che dice che esiste un cardinale infinito molto grande, non derivabile dagli assiomi della teoria degli insiemi. È possibile che, in futuro, questa assunzione possa essere rimossa, ma è un fatto indiscutibile, degno di essere analizzato, che essa abbia giocato un ruolo positivo e fondamentale nella scoperta del teorema. E si potrebbero fare molti altri esempi.

Per il resto, non credo che la matematica e la filosofia dell’infinito abbiano bisogno di ulteriori difese: come abbiamo cercato di far vedere io e il mio coautore nel libro, esse hanno a che fare con così tanti aspetti del sapere umano che non vedo come si possa negare che l’infinito sia fondamentale per la comprensione della realtà.

Come si indirizzerà, a Suo avviso, la ricerca futura su questi temi?
Difficile dirlo, perché non esiste una “scienza dell’infinito” che si muova in una direzione unica o proceda con una sua agenda di ricerca autonoma. Però ho già citato svariati filoni di ricerca, per i quali la questione dell’infinito è rilevante: la fisica contemporanea, in parte, dove le questioni centrali riguardo la finitezza/infinitezza dell’universo, dello spazio, ecc. sono, si può dire, in un certo senso, insolute (per il semplice fatto che le nostre teorie più accreditate non ci danno risposte definitive o non hanno ricevuto conferma). Da queste o, eventualmente, altre teorie è lecito, quindi, attendersi delle risposte interessanti in futuro.

Per il resto, l’indagine dell’infinito matematico continuerà negli ambiti che le sono propri, per esempio, la teoria degli insiemi, l’analisi matematica e l’analisi non-standard, una disciplina che ha avuto uno sviluppo tumultuoso negli ultimi anni. Per citare un ulteriore risultato recente emerso in quest’ambito, tre matematici italiani, Marco Forti, Vieri Benci e Mauro Di Nasso hanno sviluppato una teoria, che si chiama delle numerosità, che introduce una nozione di cardinalità infinita che, per certi versi, contraddice quella di Cantor e rispetta, invece, l’assioma di Euclide (“il tutto è più grande della parte”), che la nozione di cardinalità di Cantor viola. Un’estensione di questa teoria, in quella che gli autori definiscono teoria del campo euclideo, consentirebbe di incorporare l’infinito “cantoriano”, gli infinitesimi e le numerosità stesse! Una sintesi che rivela la straordinaria vitalità e fruttuosità delle questioni che hanno a che fare con l’infinito.

Da un punto di vista metodologico, mi aspetto che, in futuro, su questi temi, si fondano sempre di più, in maniera virtuosa, le discipline che noi abbiamo trattato nel libro: filosofia, matematica e fisica. L’idea mia e del mio coautore, infatti, è che non si possa parlare di infinito senza mettere in campo tutt’e tre queste discipline. Per farlo, però, bisogna acquisire delle conoscenze in ciascuna di esse, e, quindi, sostenere quel dialogo “umanistico” fra scienze che ci può restituire un’immagine sintetica del sapere che assomigli a quella della grande tradizione filosofica passata. Il nostro libro, nel suo piccolo, ha cercato, io credo, di muoversi in questa direzione.

Claudio Ternullo è Beatriu de Pinós (MSCA COFUND) Post-Doctoral Fellow in Logica all’Università di Barcellona

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