Il labirinto del continuo. Numeri, strutture, infiniti, Giorgio ChinniciDott. Giorgio Chinnici, Lei è autore del libro Il labirinto del continuo. Numeri, strutture, infiniti edito da Hoepli: si può fare divulgazione della matematica?
Certamente, anzi è necessario farlo. La matematica, al pari della scienza in generale, è una delle sfaccettature di una cultura che è unica. La distinzione tra cultura umanistica e cultura scientifica è ampiamente artificiale: ciascuna di queste aree beneficia dall’altra e per l’altra produce stimoli fondamentali; solo la fusione tra le due può produrre conoscenza e progresso. Senza voler essere degli specialisti, la matematica è tuttavia parte integrante di quella cultura che ci permette di comprendere il mondo che ci circonda e noi stessi.

A mio parere, poi, è anche molto importante l’impronta che si dà alla divulgazione. Con le sole parole non si possono spiegare certi argomenti; all’estremo opposto, non si può certo pretendere che il generico lettore interessato a un argomento scientifico possa o voglia affrontare un testo di livello specialistico. Io ho proposto una sorta di terza via, che posso dire sia stata accolta con successo. Nei miei libri divulgativi per Hoepli su argomenti di fisica, come la relatività, la meccanica quantistica e il caos, non rifuggo da simboli e formule, del resto accessibili a tutti; d’altra parte, non trascuro mai di presentare il significato concettuale, filosofico, culturale appunto, degli argomenti trattati. Ho deciso allora di fare la stessa cosa con la matematica, ed ecco Il labirinto del continuo.

Da cosa nasce la generale avversione per la matematica?
Semplicemente dalla maniera sbagliata con cui viene presentata, nella società e purtroppo talvolta anche nella scuola. La matematica viene vista come qualcosa di astruso per pochi iniziati, un’accozzaglia di calcoli difficili e noiosi, qualcosa per cui bisogna “essere portati”, un male necessario nel migliore dei casi. Niente di tutto ciò: la matematica è la maniera quantitativa di comprendere e manipolare il mondo ed è in grado persino di gettare luce sugli stessi meccanismi della nostra mente. La matematica perciò è bella, coinvolgente e accessibile per chiunque. Per questo il mio libro vuole contribuire a correggere la rotta, a svelare il vero e affascinante volto di questa disciplina, a spiegare che cosa dice realmente per restituirle il posto che ha nella cultura di tutti.

Sono i numeri gli elementi alla base della matematica?
I numeri rappresentano in effetti la nascita della comprensione quantitativa del mondo, cioè della matematica. Caratteristiche della specie homo sapiens sono la capacità di contare e la capacità del linguaggio: entrambe si possono sintetizzare come capacità di pensiero astratto. L’avere capito cos’hanno in comune le cinque dita di una mano, cinque alberi e cinque pietre è una conquista tutt’altro che banale. Ancora oggi certamente i numeri sono un concetto chiave della matematica, ma i suoi elementi di base sono gli insiemi. Talvolta si dice che se per i fisici tutto ciò che esiste sono le particelle del Modello Standard (quark, elettroni, fotoni, Higgs ecc.), per i matematici tutto ciò che esiste sono gli insiemi. Naturalmente, insiemi dotati di strutture definite da assiomi e affiancati dalle leggi della logica.

Come si sviluppa l’approccio assiomatico-deduttivo?
La matematica nasce dalle esigenze pratiche del mondo, come contare e calcolare lunghezza e superfici; ma poi diventa, a partire da Pitagora e poi Euclide, una disciplina a sé stante. A partire da assiomi assunti come validi si deducono altre proposizioni vere che riguardano le entità che si considerano, che possono essere numeri, figure geometriche, vettori, ecc. Il punto è queste entità e gli assiomi che le definiscono non sono necessariamente legati al mondo fisico: la matematica può creare dei mondi nuovi, alternativi. La cosa interessante è che poi questi mondi nuovi possono rappresentare sfaccettature della realtà fisica che ci erano sfuggite. Succede proprio così con la geometria: ai primi quattro assiomi di Euclide se ne affianca un quinto che però può assumere tre forme diverse: per ogni retta ce n’è una e una sola parallela, oppure nessuna, oppure infinite. Ognuno dei tre gruppi di assiomi dà origine a tre geometrie diverse, a tre mondi diversi, tutti perfettamente validi e legittimi in matematica. Nel primo caso si ottiene la comune geometria euclidea a cui siamo abituati, ma la Relatività Generale di Einstein ha scoperto che anche gli altri due tipi di geometria sono indispensabili per descrivere la struttura, curva in questo caso, dello spazio-tempo fisico.

Una frase che sintetizza mirabilmente tutto questo è una citazione di Hanna Arendt che ho riportato all’inizio del mio libro: “È stata la matematica, la scienza non empirica per eccellenza, in cui la mente appare giocare solo con se stessa, che si è rivelata essere la scienza delle scienze, fornendo la chiave di quelle leggi della natura e dell’universo che vengono celate dalle apparenze.”

Quali caratteristiche possiede l’infinito matematico?
La scoperta dell’infinito è stata una delle più alte conquiste della mente umana, monumento eccelso alla sua capacità di pensiero astratto. Anzi, la scoperta di diversi tipi di infinito, poiché oltre all’infinito numerabile, quello dei numeri naturali per intenderci, esiste l’infinito continuo, quello dei numeri reali.

Gli elementi di un insieme infinito si possono mettere in corrispondenza uno a uno con quelli di una sua sottoparte: per esempio, tutti i numeri naturali si possono mettere in corrispondenza biunivoca con i soli numeri dispari o con i soli numeri pari. Quello che sembra un paradosso (potete leggere nel mio libro della famosa e simpaticissima metafora dell’Hotel Hilbert con infinite stanze) viene invece assunto proprio come definizione di insieme infinito, dato che questa corrispondenza tra il tutto e una sua parte non può mai sussistere invece per un insieme finito. L’infinito continuo ha poi in aggiunta la sconvolgente caratteristica di non poter essere numerato, cioè posto in una lista. Anche questo conduce a riflessioni molto profonde che coinvolgono il concetto di computabilità e, in ultima analisi, quello di casualità.

Cosa si intende per continuità?
Se immaginiamo di rappresentare i numeri naturali su una retta, si vede immediatamente anche a livello intuitivo che ci sono dei “salti” tra un numero e l’altro. Si trova che lo stesso avviene con i numeri razionali: manca qualcosa, come per esempio la radice di due o pi greco. I numeri reali invece sono completi, costituiscono un infinito continuo, senza “buchi”. Ora, senza questa completezza o continuità che dir si voglia in buona sostanza si perderebbe la possibilità di fare concretamente matematica. Ma c’è di più: il modello continuo è indispensabile per fare scienza e quindi tecnica, in ossequio anche alla celebre massima “natura non facit saltus”. Certamente la materia e l’energia sono discrete, quando si va al livello subatomico, ma per l’appunto è intanto una questione di livello: se studio il moto di un pianeta attorno al Sole non posso derogare da un modello continuo. Oltre a questo, lo stesso apparato matematico della meccanica quantistica, che descrive un mondo di grandezze fisiche discrete, è un modello di matematica continua e non può essere diversamente!

Quali sono le frontiere della matematica contemporanea?
Questa è una bella domanda, di non facile risposta; penso del resto che ciascun ricercatore nel campo della matematica darebbe probabilmente una risposta diversa! In effetti, tanti e disparati sono i temi e le frontiere della matematica moderna. Nel congresso di matematica tenuto a Parigi nel 1900, David Hilbert (allora riconosciuto come il più grande matematico vivente e che è certamente uno dei più grandi di tutti i tempi), fu chiamato a elencare i problemi irrisolti della matematica, come programma e sfida per il nuovo secolo. Anche oggi si trovano elenchi di problemi irrisolti che rappresentano le frontiere della matematica; tra questi ci sono campi di ricerca estremamente affascinanti che spesso vanno anche a interessare la fisica, come le equazioni di Navier-Stokes, la teoria di Yang-Mills, la congettura di Poincaré, l’ipotesi di Riemann, la congettura di Goldbach. Penso tuttavia che sarebbe riduttivo limitarsi a questi elenchi: le frontiere della matematica avanzano in tutti gli innumerevoli settori della disciplina, dall’algebra alla teoria dei numeri, dalla geometria differenziale alla topologia, con nuove scoperte e nuove applicazioni. È su questa scia che l’umanità trova poi qualcosa di completamente nuovo, esattamente come è avvenuto con l’introduzione del calcolo infinitesimale.

Come si può appassionare alla matematica i ragazzi?
Cambiando la percezione culturale della matematica, da parte di tutti, e i metodi di insegnamento rivolti ai giovani. Il fascino della matematica è quello del pensiero, le sue potenzialità e le sue attrattive sono quelle della stessa mente umana. Non mi intendo di metodi pedagogici ma penso che sia lungo questa direzione che va presentata la matematica: non aridi manuali specialistici, ma neanche bei discorsi alla fine dei quali ne sappiamo quanto prima. Se si propone al lettore qualcosa di accattivante in cui però anche lui deve metterci del suo, alla fine questo lettore non potrà che sentirsene ripagato e comprendere la profonda bellezza del mondo che ha scoperto.

Giorgio Chinnici, fisico e ingegnere elettronico, lavora come project manager nel campo dei test e della certificazione per l’energia elettrica. Si interessa di linguistica, filosofia e scacchi e si dedica con grande passione alla divulgazione scientifica come componente essenziale della cultura per tutti. Per Hoepli ha pubblicato finora 5 volumi:

  • Il labirinto del continuo. Numeri, strutture, infiniti (2019)
  • La stessa danzante. Sei versioni del caos (2018)
  • Guarda caso. I meccanismi segreti del mondo quantistico (2017)
  • L’Enigma di un genio (2016)
  • Assoluto e relativo. La relatività da Galilei ad Einstein e oltre (2015)