La piena consapevolezza della possibile esistenza di nuovi ambienti geometrici non euclidei risale agli inizi del XIX secolo in due regioni lontanissime tra loro sia dal punto di vista geografico che culturale: in Transilvania nell’attuale Romania e nelle regioni tartare della Russia ai piedi dei monti Urali. Se guardiamo alle date di pubblicazione dei primi lavori di geometria non euclidea dobbiamo dare la precedenza al russo Nicolaj Ivanovic Lobačevskij che nel 1829 pubblica, sul giornale scientifico dell’Università di Kazan, dove esercitava, tra l’altro, la carica di Rettore, la prima parte del volume Sui principi della geometria, dove si costruisce in modo sistematico, matematicamente rigoroso e completo un nuovo ambiente tridimensionale non euclideo. In realtà queste stesse idee erano state presentate da Lobačevskij in un seminario che si tenne l’11 febbraio del 1826 nell’Università di Kazan, col titolo Exposition succincte des principes de la géométrie avec une démonstration rigoureuse du Théorème des parallele. Purtroppo il lavoro non fu mai pubblicato e il testo perduto. Quasi contemporaneamente in una lettera datata 3 novembre 1823 il ventunenne János Bolyai scriveva al padre Farkas, anche lui matematico “Ora non ho altro da dire se non questo che dal nulla ho creato un altro mondo”. Tuttavia, solo alla fine del 1831, János riuscì a completare una stesura definitiva del suo lavoro che fu immediatamente pubblicata col titolo Appendix scientiam spatii absolute vera exhibens come appendice a un imponente lavoro del padre e inviata immediatamente a Federich Gauss considerato all’epoca il maggiore matematico vivente. Gauss, si dice per disguidi postali, non ricevette subito la lettera e rispose il 6 marzo del 1932 annunciando di essere da molti anni al corrente di quei risultati rivoluzionari. In effetti l’8 novembre del 1824 Gauss scriveva all’amico Franz Adolph Taurinus: «L’assunzione che la somma dei tre angoli [del triangolo] sia minore di 180°, conduce ad una geometria specifica del tutto diversa dalla nostra (euclidea), e che in sé stessa è del tutto conseguente e che io ho elaborato per me stesso in modo del tutto soddisfacente, al punto tale che sono in grado di risolvere ogni problema ad eccezione della determinazione di una costante che non si può determinare a priori. Quanto più grande si assume questa costante, tanto più ci si avvicina allageometria euclidea e una grandezza infinitamente grande le fa coincidere.I principi di tale geometria appaiono in parte paradossali ed assurdiall’inesperto. Ad una riflessione attenta e pacata, tuttavia, si trova che non contengono nulla di impossibile.»Gauss aveva elaborato “per se stesso” la nuova geometra ma non aveva pubblicato nulla per non suscitare, come dirà più avanti, “le grida dei beoti”.
Quali sono i presupposti teorici delle geometrie non euclidee?
Le geometrie non euclidee, così denominate da Gauss nel 1824, nascono contestando la validità del V postulato – il postulato delle parallele – a fondamento della geometria euclidea. Solo utilizzando questo postulato si può dimostrare l’esistenza di un quadrato – un quadrilatero con 4 lati uguali e 4 angoli retti – o che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo è di 180 gradi. Il V postulato afferma che se due segmenti sono tagliati da una trasversale e se questa trasversale forma con i due segmenti angoli interni la cui somma è minore di due angoli retti, allora i due segmenti, se sufficientemente prolungati, finiscono per incontrarsi dalla parte dove tale somma è minore di 180 gradi.
Fin dall’antichità i matematici hanno considerato questo postulato meno evidente dei precedenti quattro – per due punti passa sempre un segmento, i segmenti possono essere prolungati nei due versi, dato due punti esiste una circonferenza che ha centro in uno dei due e passa per l’altro, tutti gli angoli retti sono uguali – e hanno certato di dimostrarlo a partire da quelli e dalle loro conseguenze. Tutti i teoremi che è possibile dedurre dai primi 4 postulati a prescindere dal V formano il corpo della cosi detta Geometria assoluta. I tentativi di dimostrazione del V postulato si susseguirono nei secoli, una valutazione per difetto enumera più di 300 dimostrazioni sbagliate, alcune estremamente sottili il cui errore logico è sfuggito anche a matematici di prima grandezza come ad esempio Legendre che ne propose diverse nel suo Eléments de Géométrie. Nel 1759 d’Alambert scriveva nella voce Géométrie dell’Encyclopédie “La definizione e le proprietà della retta e quella delle parallele sono lo scoglio e per così dire lo scandalo degli elementi della geometria”.
Alcuni matematici tentarono una dimostrazione per assurdo: supponiamo che il postulato delle parallele sia falso e cerchiamo a partire da questa supposizione un assurdo, cerchiamo cioè di dimostrare che la negazione del postulato delle parallele porta a dimostrare una proposizione e la sua negazione logica. Tra questi numerosi tentativi il più tenace e significativo è quello del matematico gesuita Gerolamo Saccheri nato a San Remo il 1667. Saccheri iniziò una ricerca senza quartiere alla caccia di questa contraddizione, usando con estremo rigore e abilità gli stessi metodi sintetici di Euclide. Di teorema in teorema fu il matematico che osò addentrarsi più di ogni altro nei meandri della Geometria assoluta e in queste pieghe trovò, che gli angoli interni dei suoi triangoli, sommati insieme non arrivano a 180 gradi, trovò dei segmenti che prolungati via via si avvicinano tra loro senza mai incontrarsi, o, ancora più strano, segmenti che prolungati in una direzione si avvicinano fino a raggiungere una minima distanza tra loro per poi, prolungandoli ancora nella medesima direzione, allontanarsi l’uno dall’altro oltre ogni limite… ma nessuna contraddizione logica, solo risultati contrari alla nostra idea intuitiva di retta. Per la prima volta logica e intuizione si separano drasticamente e solo col coraggio e la spregiudicatezza di Bolyai e Lobačevskij si accettarono questi risultati come fondanti di una nuova geometria che poteva, come quella di Euclide e con lo stesso armamentario teorico avere diritto di cittadinanza. Per questo anche Saccheri lo si può considerare un pioniere delle geometrie non euclidee. Ma le domande non mancarono davvero. Poteva aver diritto di cittadinanza una geometria così lontana dalla nostra immagine dello spazio? E con quale utilità? E come il nostro pensiero avrebbe potuto accettarla? E se un domani si fosse trovata una contraddizione? Alcuni bollarono queste geometrie come geometrie ultraterrene o addirittura “da manicomio”.
Tuttavia su un altro versante, anche molto antico, e con i nuovi strumenti concettuali dell’analisi infinitesimale, si intravide una via per colmare questa drammatica frattura tra logica e intuizione. Il punto di partenza portò ad una radicale revisione del concetto di retta: cosa vuol dire che un percorso è “dritto”? Il libro inizia proprio ponendo sul piatto questa domanda cruciale, cruciale poiché è a partire dai segmenti, cioè dai percorsi rettilinei, che è possibile costruire triangoli, poligoni e sogni altra figura geometrica e con queste sviluppare la geometria stessa. La storia del pensiero matematico, come spesso avviene, è illuminante. Già Menelao, astronomo e matematico, nel II secolo dopo Cristo si era posto questo problema e, nella sua Spherica, aveva studiato con grande maestria matematica dei triangoli tracciati sulla superficie di una sfera e aveva considerato “retto” quel cammino che, restando vincolato alla superficie sferica, si curva il meno possibile, cioè prosegue in avanti senza mai deviare ne a destra ne a sinistra, così come consideriamo dritta una strada se questa prosegue senza deviazioni ne da una parte ne dall’altra prescindendo dal suo andamento in salita o in discesa. Tali percorsi “dritti” sono quelli più brevi per andare da un punto A ad un punto B restando sulla superficie ed essi, sulla superficie sferica, sono facilmente individuabili: sono, come è facile dimostrare, gli archi di circonferenza massima dove una circonferenza è massima se il suo centro coincide col centro della sfera. Con tali segmenti Menelao costruisce sulla superficie sferica una geometria dei triangoli e dimostra che la somma degli angoli interni di ognuno di tali triangoli è sempre maggiore di 180 gradi. Il lavoro di Menelao, che presentiamo diffusamente nel secondo capitolo, restò sepolto nel mare magnum della matematica applicata funzionale agli studi astronomici o geodetici. Sarà molto più tardi che, con i nuovi metodi infinitesimali, si incominciò a studiare in tutta generalità le linee tracciate su una superficie curva. Non è un caso che il primo a incamminarsi su questa strada fu proprio Gauss che nel 1827, sempre in quegli anni 20 del XIX secolo, pubblicava le sue Disquisitiones generales circa superficies curvas, dove prendeva in esame e caratterizzava con una equazione differenziale le linee che lui chiamò “brevissime” e che oggi si chiamano geodetiche, cioè quelle che rendono minima la lunghezza di un cammino che colleghi due dati punti della superficie. In quel trattato Gauss insegnò come sviluppare una geometria a due dimensione con i suoi “segmenti”, i suoi “triangoli” le sue figure su una qualsiasi superficie curva esattamente come aveva fatto Menelao nel caso particolare di una superficie sferica. La curvatura della superficie sulla quale si sviluppa la specifica geometria, oggi chiamata curvatura gaussiana, ha ovviamente un ruolo centrale in tutta la questione. Più tardi Bertrand Riemann riuscì a estendere queste idee in dimensione tre definendo infiniti possibili spazi curvi anche in dimensioni maggiori. La frattura tra logica e intuizione veniva risolta potendo immaginare e studiare con gli attuali metodi della geometria differenziale spazi curvi. L’incurvarsi dello spazio, diventa la causa del comportamento apparentemente paradossale e anti intuitivo delle rette e delle figure che avevano trovato i fondatori della geometria non euclidea. Ma il prezzo da pagare era alto: rinunciare all’idea che esista un solo spazio tridimensionale e aprire il pensiero verso una pluralità di geometrie, prezzo che, ci pare, non sia stato ancora pienamente pagato.
Chi sono i protagonisti della storia delle geometrie non euclidee?
Sicuramente dovremmo ricordare tra questi protagonisti Menelao, il grande geometra, anche lui come Euclide, alessandrino, che immaginò e sviluppò una geometria intrinseca sulla superficie della sfera, con i suoi “triangoli gonfi” e la sua trigonometria sferica in tutto analoga a quella di Euclide e dedotta con gli stessi strumenti sintetici propri della geometria euclidea. Con gli stessi strumenti sintetici anche Bolyai e Lobačevskij proposero con coraggio un nuovo mondo geometrico, una Scienza dello spazio assolutamente vera, ed indipendente dalla verità o dalla falsità dell’assioma XI [quello delle parallele] di Euclide (giammai da potersi decidere a priori, come venne titolata in italiano, dal matematico Eugenio Beltrami, la prima traduzione dell’appendix di Bolyai), una Pangeometria come titolò Lobačevskij la sua opera. Oggi questa geometria è ancora viva e viene chiamata geometria iperbolica. Per costruirla, i due grandi matematici sostituirono il postulato euclideo con un postulato più generale che comprendeva quello come caso particolare e svilupparono, con metodi sintetici e trovando gli stessi risultati, l’uno indipendentemente dall’altro, una geometria che, conseguentemente, comprendeva quella euclidea come caso particolare: una “geometria assoluta”. János Bolyai, fu un ragazzo dall’intelligenza vivace, ottimo violinista e matematico precoce, restò orfano di madre, affetta da grave malattia mentale, non riuscì a frequentare l’Università per ristrettezze economiche e finirà per sposare la carriera militare raggiungendo il grado di Capitano. Carattere impulsivo e molto difficile, aveva la fama di essere un eccezionale spadaccino tanto che, si racconta, accettò di sfidare a duello ben 13 ufficiali di cavalleria, uno di fila all’altro, purché gli fosse concesso di suonare il violino tra un duello e l’altro. Inutile dire che uscì vincitore di tutte le sfide. La reazione di Gauss, che rivendicò a sé stesso queste nuove idee geometriche, ebbe un effetto devastante sul giovane János, che arrivò ad accusarlo di plagio e a litigare irrimediabilmente col padre, condannandosi così a un progressivo isolamento. Lasciò definitivamente nel 1833 la carriera militare isolandosi sempre di più. Infine, il litigio col padre e la lettura della traduzione tedesca del 1848 del lavoro di Lobačevskij che riportava gli stessi risultati, diede al fragile carattere di János un colpo decisivo. Visse gli ultimi anni in totale solitudine occupandosi, tra le altre cose, del progetto di una “Medicina universale” che avrebbe potuto migliorare le condizioni di vita dell’intera umanità. Muore il 27 gennaio del 1860 in miseria, dimenticato da tutti e lascia circa 20.000 pagine manoscritte sugli argomenti più disparati tra cui il progetto di una lingua universale comune a tutte le nazioni.
Di carattere completamente diverso da quello di JánosBolyai, con una storia di vita ben inserita nella ricca borghesia russa, Lobačevskij nasce a Niznij Novgorod, la citta di Gor’kij, nella Russia europea nel 1792, ma a soli 5 anni verrà affidato dalla madre agli educatori scolastici nel collegio di Kazan, città a ridosso degli Urali, lontana dai più importanti centri culturali di Mosca e San Pietroburgo, dove Lobačevskij passerà tutta la vita, in un pressoché totale isolamento dai matematici occidentali del suo tempo. Come studente del ginnasio si distinse per un ottimo profitto in tutte le materie ma specialmente in Matematica Fisica, rispettoso delle regole ma anche con le curiosità di un giovane della sua età. Solo una volta, a 16 anni, fu rinchiuso in cella di rigore per aver costruito un razzo, rischiando in quel modo di dar fuoco al collegio. La sua permanenza prima nel ginnasio e poi nell’università si sviluppò nel modo più ordinato e sereno possibile: a 19 anni è nominato “maestro” in scienze fisico-matematiche, titolo che gli permetteva di esercitare una sorta di assistentato nell’Università iniziando così la sua carriera didattico scientifica. A 22 anni è professore aggiunto e due anni dopo professore ordinario infine nel 1827, cioè a 35 anni è eletto Rettore dell’Università di Kazan carica che mantenne fino al 1846. In questo ventennio Lobačevskij svolse una intensa attività amministrativa organizzando laboratori scientifici, sistemando la biblioteca, l’osservatorio astronomico e partecipando, anche in qualità di presidente, al Comitato edilizio cittadino promuovendo la ricostruzione di diversi edifici andati distrutti durante l’incendio a Kazan del 1842. Nel 1832 sposò Varvara Alekseevna Moiseeva, molto più giovane di lui, figlia di un ricco proprietario terriero, donna aperta e intelligente organizzatrice di ricevimenti culturali nello stile della ricca borghesia cittadina. Padre sfortunato di 7 figli, tre femmine e quattro maschi: una figlia muore nascendo, il figlio prediletto muore di tubercolosi a 19 anni, l’ultimo figlio nasce malato. Viene allontanato dall’Università a 54 anni per raggiunti limiti d’età, la sua salute deteriora sempre più, perde progressivamente la vista e la sua ultima opera Pangeometria, dettata a una collega, viene pubblicata nel 1855 negli appunti scientifici dell’Università e successivamente tradotta in francese e tedesco. Muore il 12 febbraio 1856.
Ma forse il vero e più moderno protagonista di questa straordinaria vicenda culturale è Carl Friedrich Gauss, uno dei giganti della matematica di tutti i tempi paragonabile, per le sue doti precoci e la sua grandezza, a Mozart, in campo musicale. A soli 19 anni Gauss riuscì a dimostrare la costruibilità con riga e compasso un poligono regolare con 17 lati, inventò l’aritmetica modulare, alla base della moderna teoria dei numeri, e diede la prima dimostrazione del teorema di reciprocità quadratica. A 24 anni, utilizzando le osservazioni del piccolo asteroide Cerere apparso all’orizzonte il primo gennaio del 1801 e subito scomparso, effettuate dall’astronomo Giuseppe Pizzi, riuscì a prevedere esattamente quando e dove l’asteroide sarebbe riapparso all’orizzonte dopo il suo giro intorno al sole. Per realizzare questa previsione Gauss elaborò nuovi metodi probabilistici e statistici basati su quello che oggi è noto come il metodo dei minimi quadrati, ottenendo grandi riconoscimenti. Questo successo tanto clamoroso gli valse la posizione di direttore dell’osservatorio astronomico di Göttingen, posizione che lui accettò e che mantenne per tutta la vita.
Nelle sue Disquisitiones generales Gauss considera nello spazio euclideo tridimensionale, una qualsiasi superficie liscia e non studia le sue proprietà con i metodi sintetici propri di Euclide e dei suoi epigoni, ma, nella scia delle ricerche di Eulero, con i nuovi e più potenti metodi dell’analisi infinitesimale. Queste ricerche lo portarono a immaginare nuovi ambienti bidimensionali nei quali poter tracciare figure geometriche perfettamente coerenti con quelle immaginate da Saccheri. La possibilità di più geometrie altrettanto coerenti metteva però in discussione l’idea kantiana, imperante ai suoi tempi, che considerava la geometria euclidea espressione dello spazio inteso come intuizione a priori e Gauss non aveva certamente ne il carattere ne il desiderio di iniziare una polemica su questi temi con i filosofi dominanti che, in mancanza di opportuni strumenti matematici, non erano certamente in grado di afferrare pienamente la novità epistemica che si presentava all’orizzonte.
Quali sono le principali applicazioni delle geometrie non euclidee?
Ho sempre inteso le “applicazioni” della matematica in un senso più ampio di quello consueto. Ritengo che le applicazioni più interessanti della matematica siano quelle che portano un contributo reale a discipline e problemi non strettamente matematici includendo in quest’ultima categoria anche problemi di carattere pratico o fisico. Nel libro parliamo in modo esteso di tre tipi di applicazioni: una alla pittura, una alla letteratura e la terza alla fisica. La geometria iperbolica prevede che una retta abbia due punti all’infinito: uno in una direzione e l’altro della direzione opposta, ciò permette di rappresentare tutti i punti del piano iperbolico, che come quello euclideo è infinito, come punti interni a un disco piano la cui circonferenza racchiude tutti i suoi punti limite, i suoi punti all’infinito. Questa caratteristica affascinò il pittore olandese Maurits Cornelis Escher che nella sua ricerca artistica aveva cercato per tutta la vita il modo di rappresentare l’infinito in uno spazio finito: quello del quadro. I suoi famosi Cerchi limite, che richiamano magnificamente il modello di Poincaré del piano iperbolico, rappresentarono per Escher una straordinaria soluzione vicina alla sua immagine dell’infinito e per noi una meravigliosa emozione estetica. In tutt’altro contesto crediamo, come altri prima di noi, che Dante Alighieri si sia servito della forma dell’ipersfera cioè del modello di geometria non euclidea illimitato ma finito, per descrivere il suo universo e in particolare la visione di Dio. Nel libro dedichiamo ampio spazio alla descrizione algebrica e topologica dell’ipersfera che rappresenta il modello di uno spazio tridimensionale a curvatura positiva costante illimitato ma finito. Le applicazioni alla fisica si riferiscono alla domanda che fu anche di Lobačevskij: qual’è la forma geometrica del nostro universo? Già Einstein aveva proposto come modello del nostro universo fisico uno spazio curvato dalla gravità e aveva suggerito come possibile modello l’ipersfera. Oggi non sappiamo quale sia la risposta a quella domanda ma sappiamo che vi sono tre geometrie possibili per uno spazio liscio, omogeneo, isotropo, senza “buchi” e completo di geodetiche per unire due punti qualsiasi: quella euclidea, quella iperbolica e quella sferica.
Quali sono le prospettive della ricerca geometrica del XXI secolo?
Questa domanda è molto impegnativa e mi limiterò a rispondere solo per quel che riguarda gli sviluppi possibili delle idee legate alla nascita e allo sviluppo delle geometrie non euclidee. Nella scia delle ricerche di Gauss sulla geometria delle superfici curve, Bertrand Riemann aveva generalizzato quelle idee e aveva introdotto il concetto di varietà pluriestesa di dimensione n: uno spazio definito, come un atlante, da tante carte locali nelle quali era possibile, coerentemente, misurare le distanze tra due punti infinitamente vicini e, a partire da questo misurare le lunghezze dei cammini e determinare le linee geodetiche con le quali sviluppare la geometria sulla varietà. Riemann aveva indicato anche un possibile modo per definire la curvatura di una tale varietà di dimensione n, modo che porterà sviluppi fondamentali nelle attuali ricerche di geometria differenziale dando vita al calcolo tensoriale e più in generale all’algebra multilineare. Lo studio della forma delle varietà riemanniane di dimensione maggiore di 2 con determinate caratteristiche quali la compattezza o la semplice connessione o altre è tutt’altro che concluso e rappresenta oggi un vastissimo campo di ricerche geometriche. Citiamo solo un esempio che lega la curvatura globale di una varietà riemanniana alla sua forma topologica: qualunque superficie riemanniana compatta che abbia curvatura totale nulla ha forma topologica di un salvagente. Teoremi di questo tipo in dimensione maggiore di 2 sono estremamente complicati e rappresentano una sfida importante per le future generazioni di “geometri”.
