Geometrie non-euclidee e problema della conoscenza, Cesare L. MusattiDopo essere per decenni rimasto inedito, è ora finalmente disponibile in edizione critica curata da Aurelio Molaro, il fondamentale testo dello scomparso Cesare L. Musatti dal titolo Geometrie non-euclidee e problema della conoscenza, pubblicato da Mimesis.

Cesare Musatti rappresenta uno dei principali protagonisti della scena psicologica italiana del Novecento, padre fondatore della psicoanalisi in Italia nonché divulgatore e autore di opere letterarie. L’opera ne costituisce la tesi di laurea in Filosofia, discussa nel 1921 all’Università di Padova.

Il tema di fondo della tesi di Musatti è, in ultima analisi, «il problema della realtà matematica, che la crisi dei fondamenti, anzitutto della geometria, aveva posto con forza ai matematici e di riflesso a tutti gli uomini di scienza. A lungo si era creduto che la matematica studiasse le caratteristiche del mondo reale […] Le geometrie non-euclidee (e le teorie algebriche con leggi diverse da quelle numeriche tradizionali) sviluppate nell’Ottocento erano invece teorie che non avevano un riscontro immediato nel mondo reale; esse non descrivevano la realtà, ma erano costruzioni coerenti, impostate assiomaticamente e sviluppate secondo una logica impeccabile, alla pari della geometria euclidea.»

Per Musatti il superamento del pregiudizio realistico consisteva proprio nel «riconoscimento dell’equivalenza formale delle varie geometrie». Con Poincaré egli ne affermava la natura di «interpretazioni convenzionali applicate alla realtà, anche se guidate da un principio di comodità, che nel caso della geometria euclidea la rende il sistema geometrico più consono alla nostra esperienza percettiva dello spazio».

Il tema delle geometrie non-euclidee compare anche ne I fratelli Karamazov di Dostoevskij, nel dialogo sull’esistenza di Dio, sul senso del dolore e sull’essenza della libertà che vede protagonisti Ivan Karamazov e suo fratello Alëša (Aleksej). «Il richiamo dostoevskiano alle geometrie non-euclidee non può essere affatto casuale. Dostoevskij aveva studiato ingegneria presso la Scuola Superiore del Genio militare di San Pietroburgo, dove si era – pur controvoglia – diplomato il 12 agosto 1843. Pertanto, egli doveva necessariamente essere a conoscenza delle pionieristiche ricerche di Nikolaj Ivanovič Lobačevskij (1793-1856) in ambito matematico». In ogni caso, «l’indiscutibile genialità del romanziere moscovita riesce pienamente a cogliere e a introdurre […] il nucleo problematico essenziale connesso all’elaborazione di sistemi geometrici, come quelli di Gauss, Lobačevskij, Bolyai e Riemann, comunemente noti come geometrie non-euclidee: si tratta, in tutta evidenza, del problema filosofico-epistemologico dello spazio nella sua più generale relazione con i fondamenti del sapere geometrico.»

Secondo Ernst Cassirer, «in tutta la storia della matematica pochi avvenimenti contribuirono in modo tanto immediato e radicale a dar forma al problema della conoscenza e a promuoverne l’ulteriore sviluppo, quanto la scoperta dei vari tipi di geometria non euclidea».

La «geometria non-euclidea trae sostanzialmente origine dagli svariati tentativi di salvare o eliminare i dubbi intorno al v postulato di Euclide, comunemente noto come postulato delle parallele («Καὶ ἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ’ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ’ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες», vale a dire: «E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti, le due rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti»).»

«Fu proprio in forza di questa grande conquista del pensiero matematico – di primaria importanza anche per i successivi sviluppi della scienza fisica – che arrivò a porsi in maniera decisiva il problema di quale geometria costituisca la descrizione geometrica dello spazio oggettivo».

Per comprenderne appieno il senso, è necessario introdurre il «concetto di curvatura dello spazio. Tutte le superfici – tanto quelle euclidee, quanto quelle non-euclidee – hanno in ognuno dei loro punti una particolare misura, detta misura della curvatura di quella superficie in quel determinato punto.» Va però precisato che «il concetto di «curvatura», nel suo significato letterale, «si applica soltanto a superfici di un modello euclideo di un piano non euclideo», come scrisse Rudolf Carnap.

«L’elaborazione di sistemi geometrici non-euclidei contribuì in maniera determinante tanto alla messa in discussione della validità della bimillenaria assiomatica degli Elementi, quanto a una sostanziale ridefinizione dei rapporti tra geometria e mondo fisico.»

L’analisi del contributo storico-epistemologico offerto da Cesare Luigi Musatti (1897-1989) con la sua tesi di laurea su Geometrie non-euclidee e problema della conoscenza (1921) si riallaccia al «particolare interesse per i problemi epistemologici connessi all’elaborazione del sapere scientifico» dello studioso.

Nella sua tesi Musatti «ricostruisce, tanto nei suoi aspetti tecnici quanto in quelli più strettamente interpretativi, la genesi delle geometrie non-euclidee e il dibattito sull’origine degli assiomi della geometria e sui fondamenti del sapere geometrico. Secondo lo psicologo veneto, «non solo la geometria appare indispensabile per una rappresentazione scientifica del mondo fisico, ma anche per una rappresentazione scientifica del mondo interiore. Giusto è pertanto che anche lo psicologo, nelle questioni riguardanti i fondamenti della geometria, cerchi possibilmente di sentirsi a casa».

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