“Bestiario matematico. Mostri e strane creature nel regno dei numeri” di Paolo Alessandrini

Prof. Paolo Alessandrini, Lei è autore del libro Bestiario matematico. Mostri e strane creature nel regno dei numeri edito da Hoepli. Solitamente si pensa alla matematica come a una disciplina perfettamente ragionevole, priva di sorprese: è realmente così?
È vero, esiste ed è molto diffuso questo stereotipo: la matematica come scienza non soltanto esatta, ma anche completamente prevedibile, dominata da una logica ferrea, in cui non c’è spazio per le sorprese e per la creatività.

Chi conosce la matematica sa che le cose non stanno affatto così, non fosse altro perché le nostre conoscenze matematiche non sono discese dal cielo come un dono divino, ma sono il frutto di un percorso millenario fatto di scoperte, di tentativi, e, perché no, anche di errori, di insuccessi, di ripartenze. La storia della matematica è la storia di un lungo e spesso tormentato confronto tra i matematici e gli oggetti del loro studio, ovvero i concetti e le idee della matematica.

In numerosi momenti di questa vicenda, i matematici si sono imbattuti in concetti strani, che scardinavano le conoscenze pregresse: idee sorprendenti, lontane dal senso comune, che inaspettatamente indicavano direzioni nuove e apparentemente assurde, nozioni addirittura sconvolgenti e mostruose.

Ho deciso di scivere questo “Bestiario” proprio per raccontare alcuni di questi incontri, e ho pensato di utilizzare un’ambientazione a metà tra le atmosfere fantasy alla Harry Potter e quelle dei bestiari medievali: le idee “strane” della matematica sono diventate creature selvagge e mostruose che si aggirano nei vati territori di una terra incantata, e i matematici sono diventati “matemaghi” intenti a stanarle, catturarle e addomesticarle.

In un libro del 1940, un saggio di matematica divulgativa intitolato “Matematica e immaginazione” e scritto da due matematici americani, Edward Kasner e James Newman, c’è una frase che descrive perfettamente questa interpretazione della matematica, al punto che ho deciso di citarla proprio all’inizio del mio libro:

Ci si riferisce erroneamente spesso alla matematica come alla scienza del senso comune. In realtà, può trascendere il senso comune e oltrepassare sia l’immaginazione che l’intuizione. È divenuta un soggetto davvero strano e forse da paura da un punto di vista ordinario, ma chiunque riesca a penetrarvici troverà una terra fatata: strana, ma con un suo senso, anche se non è quello comune.

Ecco, in questa “terra fatata” della matematica si aggirano strane creature e coraggiosi matemaghi.

Il rapporto che si crea tra di loro non è sempre lo stesso. In alcuni casi l’animale è rimasto totalmente sconosciuto per secoli, o millenni, e a un certo punto viene avvistato dal matemago: è il caso, per esempio, di alcune terribili strutture algebriche stanate nel secolo scorso, oppure della sbalorditiva geometria frattale, o delle bizzarre creature che pullulano negli automi cellulari.

In altri casi, la creatura è stata a lungo guardata con disprezzo o terrore, e quindi accuratamente evitata: è andata così con molte famiglie numeriche, con le geometrie non euclidee, con certe antinomie logiche.

E ancora, alcune bestie matematiche sono state avvistate per caso, mentre il matemago cercava altro (è successo con i numeri immaginari e ancora con le geometrie non euclidee).

Infine, alcune delle creature del mio bestiario erano un tempo considerate assurde, inesistenti, me a un certo punto si è capito che erano reali: potrei citare alcuni tipi di numeri, le solite geometrie non euclidee e alcune curve singolari.

Quali sono le famiglie numeriche più pazzesche?
Ce ne sono davvero molte. Nel mio libro dedico la prima parte, costituita da sei capitoli, ai numeri più sorprendenti e “bestiali”: numeri irrazionali, numeri giganteschi, infiniti, numeri immaginari e complessi, quaternioni.

Qui, però, vorrei citare altri due esempi particolarmente interessanti.

La prima creatura numerica da me descritta è lo zero. A noi potrebbe sembrare un animaletto innocuo e poco significativo, ma è in realtà una bestia feroce e temibile. Per esempio, dividere un numero per zero costituisce in matematica un’operazione priva di senso, e per giunta ciò accade solo con lo zero e con nessun altro numero. Inoltre, se un numero viene moltiplicato per zero, si ottiene ancora zero: come a dire, lo zero ha il potere di far diventare uguale a sè ogni altro numero che incontra lungo il suo cammino.

Ma ancora più incredibile è la storia di come i matemaghi affrontarono questo animale numerico così pericoloso. Per ben due volte lo avvistarono, ma poi la bestia fuggì e venne dimenticata. Solo al terzo tentativo il processo di addomesticazione andò finalmente a buon fine. Il primo avvistamento avvene in Mesopotamia: i Sumeri adottarono lo zero come mero segnaposto, per far stare in piedi il loro sistema di numerazione posizionale. Perse le tracce della bestia una prima volta, essa venne riscoperta al di là dell’Atlantico, dai Maya, in modo del tutto indipendente ma, sorprendentemente, molto simile a quanto avevano fatto i Sumeri.

Finalmente la creatura fu ritrovata secoli dopo in India, e in questo caso i matemaghi riuscirono a trattenerla nei loro recinti. Non solo: non si limitarono a trattarla come simbolo segnaposto, ma le diedero piena cittadinanza tra i numeri, e ne scoprirono i poteri straordinari.

Assieme allo zero, i matematici indiani studiarono anche i numeri negativi, altre bestie allora completamente ignote in Occidente. Ci vollero gli Arabi prima, e Fibonacci poi, per portare in Europa queste meraviglie: e mentre per gli Indiani si trattava da tempo di creature del tutto addomesticate, da noi dovettero passare ancora molti secoli prima che venissero pienamente accettate nel regno dei numeri riconosciuti come tali.

Un’altra famiglia pazzesca di numeri è costituita dai cosiddetti “numeri normali”. L’aggettivo fa pensare a un genere di numeri ordinari, senza caratteristiche insolite, ma è esattamente il contrario. I numeri normali sono numeri nel cui sviluppo decimale qualsiasi sequenza di N cifre è presente con uguale frequenza: vale a dire, non sono più frequenti alcune sequenze rispetto ad altre.

Non lo si è ancora dimostrato rigorosamente, ma è molto probabile che il famoso numero “pi greco”, il rapporto tra circonferenza e diametro uguale a circa 3,14, sia un numero normale.

La caratteristica pazzesca dei numeri normali è che al loro interno si può trovare ogni cosa: il vostro numero di telefono, per esempio, ma anche, codificati secondo una qualche chiave, l’intervista che state leggendo, tutte le interviste e tutte le recensioni di letture.org, tutti i libri che sono stati scritti e tutti i libri che saranno scritti nel futuro, la trascrizione di tutto ciò che avete detto nella vostra vita, l’elenco dei nomi e cognomi di tutte le persone della Terra, e così via.

Non solo: ma ognuna di queste cose è presente all’interno di un numero normale infinite volte! Terrificante, non è vero?

Quali creature “inquietanti” vivono nell’universo della geometria?
I numeri sono concetti astratti, eppure molti di loro, come abbiamo visto, esibiscono tratti mostruosi e spaventosi. Le creature della geometria hanno, in più, un elemento “visivo” che ci aiuta a raffigurare ancora meglio le loro “deformità” e le loro caratteristiche lontane dal senso comune.

Nella seconda parte del libro racconto vari esempi di bestie geometriche o comunque dotate di una intrinseca rappresentazione visuale: esseri che abitano nel giardino magico delle geometrie non euclidee, oggetti impossibili, creature che brulicano nello stupefacente “Game of Life” di John Conway, meravigliose forme che germogliano senza fine negli insiemi della geometria frattale.

I frattali, in particolare, incarnano una proprietà che, in un certo senso, è imparentata a quella dei numeri normali: se osserviamo questi oggetti geometrici con lenti di ingrandimento sempre più potenti, i mondi che si aprono davanti ai nostri occhi non diminuiscono mai la loro complessità. Al contrario, vediamo germogliare forme intricate che, nonostante la scala sempre più “microscopica”, rifiutano di diventare semplici o “lisce”.

Spesso, le forme che si generano hanno la proprietà di replicare continuamente loro stesse, e questa caratteristica è nota come autosimilarità.

Citando la chiusura del capitolo del mio libro dedicata ai frattali:

Se ci pensate, la forza posseduta da questi mostri straordinari è da brividi: a guardarli sempre più da vicino, non perdono di dettaglio, ma fanno sbocciare, continuamente e sorprendentemente, ricche strutture e universi rigogliosi. Chi crede di poterli disarmare semplicemente andando un po’ in profondità, in nome dell’antico adagio “Divide et impera”, si sbaglia di grosso: i frattali sono per loro natura creature indomabili.

Quali “mostri” genera invece la logica?
Qui si ritorna a un ambito più astratto, anche se non direttamente connesso con i numeri (lo dico sempre, contrariamente a quanto si crede comunemente, ci sono un sacco di aree della matematica che non hanno a che vedere con i numeri).

La terza parte del libro è dedicata alle creature spaventose della logica, ai ragionamenti lunghissimi e colossali che hanno permesso ai matemaghi di dimostrare rigorosamente alcuni teoremi, e ad alcune strutture mostruose e gigantesche scovate nel corso del Novecento (una per tutti: il famigerato “gruppo Mostro”).

Parlando specificamente di logica, una delle creature più famose, che ha tolto il sonno a molti matematici e a molti filosofi nel corso dei secoli, è sicuramente l’antinomia del mentitore. Se pronuncio la frase “Io sto mentendo”, evidentemente sto affermando la falsità di ciò che sto dicendo, ovvero che io non sto mentendo. Ma se non sto mentendo, sto affermando il vero, cioè è vero che io sto mentendo. E da qui si riparte con il medesimo ragionamento circolare: ragionamento che, tuttavia, continua a oscillare tra due asserzioni opposte e inconciliabili: “Io sto mentendo” e “Io non sto mentendo”. Un gorgo contraddittorio dal quale non è possibile uscire.

Dall’antichità (ne parla perfino S. Paolo) ai giorni nostri, questa antinomia, con le sue mille diverse formulazioni, ha rappresentato una delle belve più “mostruose” della logica: una sorta di spaventoso gattone selvatico che si morde la coda. Molti matemaghi tentarono di addomesticarlo, ma senza riuscirci.

Il temibile felino apparve anche in due momenti cruciali della storia della logica del Novecento: nel 1902, grazie a Bertrand Russell, fece capolino nella teoria degli insiemi di Cantor, dimostrandone la fragilità, e nel 1930 Kurt Gödel evocò una bestia simile per dimostrare il famoso teorema di incompletezza.

Bisogna temere la matematica?
La risposta scontata è: no, non bisogna temerla.

Sì, lo so, è troppo facile cavarsela così. Come insegnante ancora prima che come divulgatore, sento l’urgenza di non accontentarmi di una risposta sbrigativa come questa. In effetti molte persone, soprattutto studenti, temono la matematica e la vedono come una materia difficile, odiosa, priva di significato. É quindi molto importante capire l’origine di questo timore, e indicare possibili strade per eliminarlo, o per lo meno ridurlo.

Sono convinto che molti studenti temano la matematica perché della matematica vedono sì la “mostruosità”, ma vedono quella “sbagliata”.

Mi spiego meglio. Nel mio libro ho parlato di mostri matematici intenendo in realtà creature matematiche strane, sorprendenti, lontane dal senso comune, o addirittura sconcertanti e spaventose. In questo caso mostruosità è quasi sinonimo di bellezza, perché il carattere inatteso e spiazzante di certi concetti è il principale ingrediente di quella che viene definita “bellezza matematica”. Arrivare a cogliere questo genere di bellezza potrebbe sicuramente aiutare a comprendere il senso ultimo della matematica e a guardarla con meno paura.

Invece, spesso della matematica si coglie un altro genere di mostruosità, che ha a che fare più con la noia, con la complicatezza, con l’apparente assenza di senso, e così via. La matematica diventa quindi mostruosa, ma di un mostruoso negativo, che bello non è affatto.

Ogni giorno, attraverso la mia opera divulgativa ma anche e soprattutto in classe, cerco di demolire pazientemente gli equivoci che portano a questa errata visione della matematica, e parallelamente cerco di aiutare a individuare l’altro genere di mostruosità, quella bella, quella che per esempio fa venire i brividi quando si coglie un nesso inatteso tra un concetto matematico e un altro, o che permette di percepire il senso profondo di certe importanti idee della matematica.

Il mio “Bestiario” è l’ennesimo mio tentativo per raggiungere questo obiettivo. Nel mio zoo matematico ci sono soltanto creature belle: e sono belle perché sono mostruose.

Paolo Alessandrini è docente di matematica in un istituto superiore, divulgatore e autore, laureato in ingegneria informatica. Ha pubblicato per Hoepli Matematica rock. Storie di musica e numeri dai Beatles ai Led Zeppelin (2019) e Bestiario matematico. Mostri e strane creature nel regno dei numeri (2021). Ha partecipato a importanti manifestazioni, come il Festival della Scienza di Genova, ed è intervenuto in trasmissioni radiotelevisive, anche in RAI. Autore del blog di matematica “Mr. Palomar”, collabora con la rivista Archimede e si occupa di formazione dei docenti.