Architetture in superficie. Osservare il mondo con gli occhi della matematica, Franca Caliò, Caterina Lazzari, Elena MarchettiFranca Caliò, Caterina Lazzari ed Elena Marchetti, Voi siete autrici del libro Architetture in superficie. Osservare il mondo con gli occhi della matematica edito da Francesco Brioschi: che legame esiste tra architettura e matematica?
Caterina Lazzari: «È un legame stretto, un sodalizio direi. La matematica è alla base della formazione di ogni architetto, perché necessaria per il calcolo strutturale, o impiantistico. Ma è anche un potente motore creativo, che gli architetti possono utilizzare per individuare e adattare al loro progettare le forme geometriche. Questo rapporto formale è di vecchia data, pensiamo all’utilizzo della sezione aurea da parte di molti architetti dell’antichità, ed è più attuale che mai, anche grazie all’uso di software per la progettazione, come nel caso di Frank Gehry, che nel libro compare con uno straordinario progetto: la Fondazione Louis Vuitton a Parigi. Oppure pensiamo a Zaha Hadid, che ha basato la sua poetica possente e riconoscibile sulla ricerca formale e che è prima di tutto una matematica.

Noi nel volume ci siamo concentrate proprio su questo aspetto, mettendo a sistema le nostre competenze diverse. Ci siamo sforzate però di fare un processo inverso: non abbiamo unicamente studiato l’utilizzo della matematica da parte dei progettisti, ma ci siamo concentrate sulle possibilità interpretative che noi, come fruitori, possiamo mettere in atto

Siamo perciò andate a cercare forme basate sulla matematica negli edifici, come degli investigatori, che partendo da tracce vanno a stanare il colpevole. Quindi per esempio nel museo di Paul Klee a Berna, progettato da Renzo Piano, osservando i grandi segni morbidi e bianchi delle strutture esterne, siamo risalite all’utilizzo della superficie sinusoidale – un’onda – nella definizione della forma. È una caccia entusiasmante, che porta a scoprire un rapporto tra matematica e architettura intimo, nascosto, ma che diventa improvvisamente visibile indossando il punto di vista giusto, quello che abbiamo chiamato “gli occhi matematici”. A quel punto alcuni edifici sembra di “vederli” per la prima volta, come una piccola epifania. Per me, che sono architetta, e ho studiato la matematica – a suo tempo – proprio con Elena Marchetti, è stata una scoperta; grazie alle mie coautrici e a questa esperienza ho imparato a utilizzare la matematica in modo nuovo e a comprendere gli edifici come non li avevo mai compresi.»

Elena Marchetti: «Quale docente in corsi di Matematica per studenti di Architettura vorrei innanzi tutto evidenziare la grande potenzialità degli strumenti matematici in campo progettuale e creativo.

La Matematica ha un ruolo rilevante nel qualificare il lavoro dell’Architetto, intervenendo a più livelli, ne cito alcuni:
– giustifica i fondamenti della rappresentazione tridimensionale;
– fornisce strumenti per la genesi, lo studio e la trasformazione della forma;
– propone modelli in grado di fornire previsioni in diversi ambiti applicativi (calcolo strutturale, diffusione del calore, dinamica delle popolazioni…);
– fornisce tecniche per la ricostruzione di una forma;
– sta alla base della grafica informatizzata;

Pongo in particolare l’attenzione sulla peculiare combinazione di creatività e rigore che caratterizza la Matematica nelle sue applicazioni ai problemi del mondo reale: una mirata scelta di parametri (vincolati ad esempio a un problema di ottimizzazione) produce una forma, viceversa si genera la forma desiderata con una sapiente manipolazione di parametri.

Un altro fondamentale aspetto che vorrei mettere in evidenza è la possibilità di produrre il modello virtuale di una forma legata al progetto su cui l’architetto lavora. Nella stesura del libro Architetture in Superficie mi sono principalmente occupata di riprodurre le superfici che caratterizzano le varie opere architettoniche scelte. Individuato il tipo di superficie, ho determinato, utilizzando informazioni e misure relative all’opera architettonica, le equazioni che la definiscono, e con le quali ho ottenuto il modello 3D mediante un opportuno software matematico. In definitiva dal modello reale di una forma sono passata al modello matematico e poi al modello virtuale.

Naturalmente in ambito progettuale si dovrebbe partire dal modello matematico, farne eventualmente modifiche fino a generare il modello virtuale che si ritiene soddisfacente e poi passare a produrre il modello reale.»

Franca Caliò: «Da matematico rispondo con una frase di un famoso matematico. Rispondo con una frase di Poincarè: La matematica è l’arte di dare un nome ad ogni cosa.

Molto bello sentir chiamare la matematica arte. Ma è proprio così. Come il poeta usa le rime, il pittore usa i pennelli, la matematica usa modelli matematici per interpretare e descrivere fenomeni o forme. Con i suoi modelli la matematica può interpretare e descrivere situazioni di tipo anche molto diverso, oppure può studiare le forme di elementi naturali e manufatti e crearne copia. In sostanza può dare nome, riconoscere, identificare e anche disegnare ogni cosa: anche l’oggetto architettonico.

Da qui la risposta. Qual è il legame che vogliamo cogliere in questo volume tra matematica e architettura? L’architettura offre gli oggetti da osservare la matematica gli strumenti per descriverli.

Proponiamo, infatti, l’osservazione di oggetti “famosi” dell’architettura sia antica che moderna, ne evinciamo la forma attraverso le superfici delimitanti l’oggetto (da qui il titolo del volume), le osserviamo e troviamo la terminologia corretta per descrivere la loro forma geometrica e determinare il modello matematico per “disegnarle”. Dall’osservazione con occhio matematico, arriviamo ad apprezzare la funzione, l’estetica e l’emozione indotta dalla forma geometrica sottostante.

Ogni elemento architettonico osservato in questo volume ha da mostrarci un particolare aspetto geometrico. In alcuni è evidente perché l’autore stesso fonda il proprio progetto su leggi geometriche. Altri, come sottolineiamo nel libro, richiedono maggior sensibilità d’osservazione e nascondono sotto il loro aspetto rigorosamente geometrico o una raffinata ricerca estetica come nel veliero parigino di Ghery, o un simbolo forte come nella chiesa romana di Maier, o ancora una ricerca di adattamento all’ambiente come nella piccola chiesa di Zumthor.»

I pattern geometrici si ripetono nelle architetture di stili ed epoche diversi: le forme geometriche costituiscono l’alfabeto dell’architettura?
Caterina Lazzari: «Quando inizi a osservare il mondo circostante in termini geometrici, ti sembra che le forme geometriche siano l’alfabeto di tutto l’esistente.

La lemniscata, una curva piana che compare nel libro nella copertura della cappella di San Benedetto di Peter Zumthor e Annalisa Cuorad, ha la forma di un onisco. Il guscio della chiocciola contiene una spirale, che ritroviamo nei simboli di moltissime civiltà umane e in un grande numero di strutture architettoniche. E così via osservando il regno vegetale e minerale…

Quindi l’architettura, che è una manifestazione umana per la vita dell’uomo, utilizza sì le forme geometriche come suo fondamento sintattico, anche quando le geometrie ci sembrano confuse e dissolte (penso a edifici contemporanei), in realtà sempre di forme geometriche si tratta. Credo non potrebbe essere diversamente.

Il ritrovare le costanti nella storia delle costruzioni umane è proprio uno degli obiettivi che ci eravamo prefisse, ed è intrinseco nell’operare della matematica stessa. Quindi sono cilindri le torri medievali, quelle moderne farcite di led, e persino le panchine ottenute con l’acciaio riciclato. Sì questa è stata una delle parti più divertenti del lavoro di ricerca.»

Franca Caliò: «Caterina ha ben interpretato il ruolo della matematica come linguaggio di base per descrivere forme.

Io confermo che il messaggio che vogliamo trasmettere nel libro è esattamente questo: la geometria è la chiave di lettura delle architetture osservate. In tal senso si vuole gettare un ponte fra due culture apparentemente diverse: umanistica e scientifica. Da un lato si vuole sollecitare nel lettore la curiosità a conoscere l’oggetto di architettura, il suo ambiente storico e geografico, il progettista. Dall’altro si vuole invitare ad osservare con attenzione, ad acquisire sensibilità all’armonia, alla regolarità, alla dinamicità di alcune geometrie.

Infine si stimola ad arricchirsi di potenzialità interpretativa di forme, intuendo la necessità di strumenti matematici e informatici per la virtualizzazione e la gestione di tali geometrie.

Il nostro obiettivo è dunque anche questo: far capire che il futuro, che chiede un rinnovamento della figura professionale del progettista, sarà sempre più proiettato verso la sintesi di esperienze a volte totalmente differenti e che, molto spesso, il contributo della matematica in termini di linguaggio per esprimere conoscenze anche molto differenti è fondamentale. La moderna geometria parametrica 3D è uno dei protagonisti.»

Cosa sono le superfici dinamiche e qual è la loro importanza in architettura?
Caterina Lazzari: «Il concetto di dinamismo in un oggetto statico è sempre delicato. Mi capita di parlare ai miei studenti, per esempio, del dinamismo nelle statue di Bernini, e sorprendere i loro sguardi perplessi: “sì ma in fin dei conti quella è pur sempre una statua, sta ferma!”. Le superfici dinamiche stanno ferme, ma sono state ottenute attraverso un movimento, sono nate da un movimento, proprio come l’Apollo e Dafne di Bernini. In pratica per rotazione oppure traslazione (scorrimento) o contemporanea rotazione e traslazione di una curva. Sono importanti perché la maggior parte delle superfici geometriche sono interpretabili in questo modo, ma soprattutto perché utilizzando questi movimenti – l’argomento è molto vasto e vi rimandiamo al libro che lo tratta in modo speriamo esaustivo – si possono ottenere superfici molto interessanti e complesse  dal punto di vista formale, non scontate, uno su tutti lo straordinario paraboloide iperbolico, molto utilizzato dall’architetto spagnolo Félix Candela, anche per le sue qualità strutturali notevoli.»

Elena Marchetti: «Il termine “superfici dinamiche” caratterizza una particolare modalità con cui si possono generare superfici. La scia lasciata da una curva in movimento nello spazio tridimensionale è una superficie. Possiamo così ottenere sia superfici classiche (sferica, conica…), sia creare superfici “nuove”, inaspettate, giocando sulla scelta della curva e sul tipo di movimento.

Facciamo un esempio. Possiamo generare una superficie sferica pensando di ruotare con continuità di un angolo piatto una circonferenza attorno ad un suo diametro (asse di rotazione). Questa è una definizione “dinamica” della superficie che diventa superficie di rotazione.

Con quest’idea un qualunque arco di curva che ruoti attorno ad un asse genera una superficie di rotazione. Naturalmente i movimenti possono essere di diverso tipo: se la circonferenza viene “trascinata” (in geometria diremmo “traslata”) lungo una retta perpendicolare al piano della circonferenza, la superficie “dinamica” che si ottiene è un cilindro circolare retto.

Dal punto di vista matematico questo modo di generare superfici influisce sul tipo di equazioni (modello matematico) che le definiscono, ovvero possiamo simulare matematicamente il particolare movimento della curva nello spazio tridimensionale. Dal punto di vista architettonico si amplia notevolmente la possibilità di creare superfici che ben interpretano la volontà progettuale dell’architetto, come si evidenzia nelle descrizioni contenute nel volume. Un ulteriore vantaggio è di poter ottenere con semplicità le equazioni delle superfici generate, essenziali per lo studio delle caratteristiche delle forme.»

Cosa rivela l’analisi con occhi matematici dei maggiori monumenti al mondo
Caterina Lazzari: «Allora, la verità è che più che scegliere i maggiori monumenti al mondo, abbiamo scelto i monumenti che più rispondevano alle nostre esigenze di ricerca. Sicuramente avremo trascurato molti esempi interessanti. Però pensando a quelli che abbiamo scelto di indagare, le scoperte sono tante. Per esempio che la nuova cupola del Parlamento di Berlino risponde a esigenze simboliche e funzionali piuttosto complicate, a causa della storia che ha interessato l’edificio nel corso del 900 e della volontà energica di trasformarlo in un segno vivo di rinascita, utilizzando una forma semplice e classica, scelta anche da Michelangelo e dai suo successori Della Porta e Fontana per coprire la grande San Pietro.

In sostanza rivela che sempre, sempre, dietro a ogni scelta progettuale, c’è la ricerca della forma giusta per esprimere con precisione un concetto, un’idea e per dare una risposta funzionale ottimale.  Gli architetti ovviamente lo sanno già, perché è il loro modo di operare, ma per i fruitori dell’architettura, questa è una rivelazione ex post, e la matematica aiuta a farla.»

Elena Marchetti: «Una attenta lettura della forma degli edifici evidenzia un legame fra architettura e matematica. Possiamo identificare in molte costruzioni una sorta di “matematica visiva” che invita ad approfondire la loro genesi formale e a riflettere sul ruolo della matematica nell’agire creativo.

Ogni edificio descritto nel libro ha una sua interpretazione in termini matematici. Penso ad esempio agli spettacolari grattacieli costruiti nel mondo in questi ultimi anni: nel Turning Torso di S. Calatrava a Malmo l’occhio matematico vede un modulo, alla base del grattacielo, con la forma che ricorda un prisma pentagonale che viene traslato e ruotato otto volte verso l’alto. Un bell’esempio di trasformazione affine di una forma! La facciata della stazione dell’alta velocità di Reggio Emilia fa subito pensare ad una superficie che in geometria viene definita rigata. Nell’intelaiatura della cupola del Parlamento di Berlino si riconoscono circonferenze ed archi di ellisse dell’ellissoide di rotazione corrispondente alla cupola.»

Franca Caliò: «A questa domanda risponderei che, mettendoci passione e talora anche divertimento, abbiamo osservato architetture molto diverse tra loro sia come ambiente che come epoca che come autore e abbiamo riconosciuto in esse una forma comune. Una stessa forma geometrica. Spogliandole della ricchezza dei materiali, dei colori, degli sfondi, riducendole cioè ad uno scheletro, tutte rivelano una stessa geometria, che, attraverso la traduzione in immagine virtuale, ne fissa l’essenza.

L’occhio matematico ci rivela un’anima comune.»

Quali caratteristiche rendono straordinario il Teatro dell’opera di Sydney?
Caterina Lazzari: «Trovo sia straordinario il fatto che l’Opera House sia diventato un simbolo dell’architettura contemporanea e avveniristica, nonostante la geometria utilizzata, come spieghiamo nel libro, sia di una semplicità disarmante.

È davvero un edificio molto noto, se lo vediamo perfino dentro i cartoni animati, e a molte persone, se interrogate su un progetto architettonico avveniristico, verrebbe in mente proprio questo. Ma l’architetto ha cercato, per realizzare la sua idea, una forma semplice, efficace: una porzione di sfera.

In questo senso è un oggetto eccezionale anche per noi ricercatrici tra la matematica e l’architettura, visto che è dichiarata, da parte del progettista, la ricerca geometrica che portasse a un risultato spettacolare e di “economica” (in senso ampio, di razionale corrispondenza tra mezzi e risultato) realizzazione.

Colpisce l’immaginazione anche il fatto che il progettista fosse un emerito sconosciuto, al momento del concorso, e che il suo progetto fosse stato ripescato in maniera quasi casuale, come spinto dal destino.

Tutto questo concorre a creare una sorta di leggenda su questo edificio, che fa la sua parte con il suo aspetto di vascello spinto da vento, pronto a salpare, in una baia spettacolare.»

Quale effetto spettacolare offrono gli elicoidi e come è stato sfruttato in architettura?
Franca Caliò: «Il fascino degli elicoidi è un dato certo. Ho fatto sfogliare il volume a mio nipote Diego di sette anni e immediatamente ha fissato la sua attenzione sul capitolo relativo agli elicoidi e di conseguenza a grattacieli mozzafiato che si innalzano verso il cielo quasi danzando.

In tutti ha intuito la geometria della forma e in particolare ha scelto il Evolution Tower a Mosca perché maggiormente evidenzia (essendo un elicoide a passo corto) l’avvitamento. Con la mano ha simulato l’andamento, soddisfatto di averne capito la natura. Questo mi dà speranza che anche il lettore si immedesimi nell’osservazione aiutato dalle ricostruzioni e con le mani, come ha fatto Diego, modelli la forma osservata.»

Caterina Lazzari: «Sono estremamente spettacolari, direi le star hollywoodiane tra le geometrie dinamiche. Sono ottenute con una doppia generazione, quindi hanno un doppio effetto: l’elevazione, o anche la “crescita” verso l’alto, e la torsione. Non a caso gli edifici così ottenuti spesso richiamano nel nome o nel nomignolo questa caratteristica peculiare: “Turning torso” a Malmo, “Lo storto” a Milano.

Hanno una storia antica, se pensiamo che già Bernini, nel progetto del ciborio per San Pietro, il famoso “baldacchino”, ha usato questo gioco pirotecnico per le sue colonne.

E oggi sono i grattacieli a sfruttare questa geometria, per ampliare l’effetto sorprendente che già è connaturato alla loro altezza, come nella Shangai Tower, nata per stupire, struttura elicoidale alta più di 600 metri!»

Quali, tra gli altri edifici descritti nel libro, ritenete più significativi dell’incontro tra architettura e matematica?
Elena Marchetti: «Gli edifici che si ricollegano agli iperboloidi sono a mio giudizio ottime interpretazioni del legame fra architettura e matematica. In particolare la Kobe Port Tower e la Tree Top Experience mettono bene in evidenza la struttura dell’iperboloide sia come superficie di rotazione sia come superficie rigata, legando tali caratteristiche geometriche alle esigenze funzionali ed estetiche della costruzione.»

Caterina Lazzari: «Lavorando al contrario, cioè cercando le corrispondenze tra una superficie geometrica e le architetture, potremmo dire tutti, se abbiamo fatto bene il nostro lavoro.

Però quelli che hanno colpito più di tutti me, sono i paraboloidi iperbolici di Félix Candela: Los Manantiales, El Altillo a Coyoacàn, e infine il parco oceanografico di Valencia. Perché portano a esiti molto interessanti esteticamente uno dei precetti dell’architetto, ovvero il mettere insieme in modo armonico la forma, la funzione e il processo costruttivo. E questo grazie alla geometria. Lavorando in un’epoca e in una parte del mondo con minor disponibilità di tecnologie costruttive (c’è una foto bellissima degli operai che costruiscono il tetto a guscio di Los Manantiales portando i secchi di calcestruzzo a mano…), ha scelto il paraboloide iperbolico per la sua efficienza, economicità, e semplicità geometrica, essendo una curva rigata come spieghiamo nel libro. Non si direbbe vedendola, vero? È proprio questo che suscita in me così tanto stupore, così come la pertinacia di Candela nella sua ricerca, la sua coerenza, l’immaginario duraturo che è stato in grado di creare.»

Franca Caliò: «È troppo pretenzioso dire che lo sono tutti?

Non sto parlando in termini di importanza, di notorietà o di bellezza, ma in termini di significatività dell’incontro architettura e matematica.

Tutte le scelte fatte nel volume seguono la stessa filosofia: per prima scegliamo una forma geometrica, tra l’altro coprendo un ampio spettro di superfici dalle più semplici alle più complesse, e quindi ricerchiamo tra le architetture quelle, a parer nostro, più significative ad interpretarla.

Questo modo di procedere ci ha dato molta soddisfazione. Perché è stata una bella impresa ricercare fra le immagini note e meno note quelle che presentano in modo evidente la forma cercata.

Poi ci siamo chieste: l’autore ne ha consapevolezza? Vuole inseguire esattamente quella forma oppure è il suo istinto verso il bello e l’armonia o sono motivazioni tecniche o la ricerca di tradurre in una forma un messaggio che lo inducono ad orientarsi verso un tipo di modello che noi abbiamo identificato come modello geometrico? Per lo più abbiamo suggerito la risposta al lettore, lasciandolo libero, tuttavia, di avere la propria idea a riguardo.»

Franca Caliò, professore ordinario di Analisi numerica del Politecnico di Milano. Ha più di quarant’anni di esperienza quale docente presso le Scuole di Ingegneria, Design, Architettura. Il suo campo di ricerca è orientato verso le applicazioni della matematica. Ha pubblicato numerosi lavori su riviste Internazionali dedicati allo studio di modelli di approssimazione numerica di problemi ingegneristici e di modelli geometrici per la virtualizzazione di forme in ambito di architettura e design. L’aspetto divulgativo in alcuni lavori rappresenta l’interesse degli ultimi anni.

Caterina Lazzari, architetta e insegnante di Arte e Immagine presso le scuole secondarie. Si è specializzata a Verona in Letteratura giovanile e didattica della lettura. Ha curato la sezione ragazzi di Tropico del libro. Scrive recensioni di libri per bambini per diversi portali e riviste. Wikiradio ha ospitato alcuni suoi interventi quale esperta di vita e professione di famose architette e artiste. Ha pubblicato un testo divulgativo Come casa mia (Editoriale Giunti Scienza) di storia dell’architettura, rivolto ai ragazzi. Vive e lavora tra la collina e il mare con marito e tre figli.

Elena Marchetti, professore associato, dal 1988 insegna Matematica in corsi presso la Scuola di Architettura del Politecnico di Milano. Ha prodotto numerose pubblicazioni su riviste italiane e internazionali nell’ambito dell’Analisi numerica. Ha pubblicato numerosi articoli su relazioni e applicazioni della matematica in architettura, design e arte, collaborando anche a libri dedicati a questo argomento. È stata inoltre molto coinvolta in attività educative all’interno del Laboratorio di educazione matematica e sperimentazione scientifica del suo dipartimento.

Alcune Pubblicazioni riguardanti legami fra Matematica, Architettura, Arte, Design nate dalla collaborazione delle autrici negli ultimi anni:

  • Caliò, E. Marchetti Generation of Architectural Forms through Linear Algebra. In: K. Williams, M.J. Ostwald: Architecture and Mathematics from Antiquity to the Future (Vol.II: The 1500s to the Future), 483-496, Springer International Publishing Switzerland (2015), ISBN: 9783319001432
  • Caliò, E. Marchetti Curves and Surfaces: Method and Creativity in Design Process, TOJET: The Turkish online Journal of Educational Technology, 1, 688-693 (2017)
  • Caliò, E. Marchetti Two Architectures: Two Compared Geometries Nexus Netw J (2018). https://doi.org/10.1007/s00004-018-0413-9.
  • Caliò, M. V. Fernandez Munoz, E. Marchetti Mathematics becomes painting creation, TOJET: The Turkish online Journal of Educational Technology, 2, 91-99 (2018)
  • Caliò, C. Lazzari, E. Marchetti Roses in Architecture: one symbol, different objects In stampa su Faces of Geometry, Springer, (2020)

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